Почему sin(x+dx)-sin(x)=2cos(x+dx/2)*sin(dx/2)

Используем формулу 

Разделим правую и левую часть на dх. и найдем предел при dx стремящемся
к нулю. слева по определению производной синуса имеем соsx.
справа аналогично. учтем при этом первый замечательный предел.