Почему нельзя отрицательное число возвести в степень нецелого числа, например (-1)⅔ = ∛(-1)²

Ну теоретически можно. В твоем примере все ок. Но ты возведи -1 в степень, скажем, 3/8. Получится минус под корнем. и будет как тут на картинке

Проснешься в КПЗ))

очень даже можно,но не в любую степень

для осуществления этого необходимо,чтобы знаменатель степени был нечетным числом (как,например, в вашем примере. кстати там получается ∛1=1)

так как при возведении в четную степень любого вещественного числа, всегда получим положительный результат