Перемножили два целых числа, одно из которых на 2 больше другого, а к произведению прибавили 1. Докажите, что получился квадрат целого числа (точный квадрат). Например: 3 · 5 + 1 = 16 = 42;
5 · 7 + 1 = 36 = 62; 23 · 25 + 1 = 576 = 242.

) tg5x + ctg5x = 4
Применяем основное тригонометрическое тождество:
1 /[sin(5x)*cos(5x)] = 4
1 = 4*[sin(5x)*cos(5x)]
2sin(10x) = 1
sin10x = 1/2
10x = (-1)^(n)*arcsin(1/2) + πn, n∈Z
10x = (-1)^(n)*(π/6) + 2πn, n∈Z
x = (-1)^(n)*(π/60) + πn/5, n∈Z

2)  4cos^2x-12sin(П-x)+3=0
4*(1 - sin²x) - 12sinx + 3 = 0
4 - 4sin²x - 12sinx + 3 = 0
4sin²x + 12sinx - 7 = 0
six = t
4t² + 12t - 7 = 0
D = 144 + 4*4*7 = 256
t₁ = (-12 - 16)/2
t₁ = - 14 не удовлетворяет условию: IsinxI ≤ 1
t₂ = (-12 + 16)/2
t₂ = 2 не удовлетворяет условию: IsinxI ≤ 1
Решений нет

Пусть 0.2x=y, тогда 0.4х=2у, получаем 1-cos2y=(кореньиздвух)*siny, тогда: 1-(1-2(siny)^2)=(кореньиздвух)*siny. Раскрыв скобки приходим к уравнению: 2(siny)^2)-(кореньиздвух)*siny=0. Выносим за скобки: siny*(2(siny)-(кореньиздвух))=0. Либо siny=0, либо (2(siny)-(кореньиздвух))=0. Siny=0, y=pi*k. Или siny=(кореньиздвух)/2, тогда y=((-1)^m)*(pi/4)+pi*m. Обратная замена: 1/5*х=pi*k, значит x=5pi*k. Или 1/5*x=((-1)^m)*(pi/4)+pi*m, тогда x= ((-1)^m)*(5pi/4)+5pi*m. Теперь посмотрим, что за картина в градусах получилась. x=5pi*k, x=900*k - видим, что в искомый отрезок при целых k попасть невозможно. Другач серия: x= ((-1)^m)*(5pi/4)+5pi*m, то есть x= ((-1)^m)*(225)+900*m. При m=0, x=225. При m=1, x=-225+900=675 - подходит. При m=2, x=225+1800>711. ответ: 675 градусов