1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).
если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b>=0
a^3+b^3 >= a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 >= ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab>0
a/b + b/a >=2
a/b + b/a - 2 >=0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0
(a-b)^2/ab >= 0
ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0
1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).
если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b>=0
a^3+b^3 >= a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 >= ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab>0
a/b + b/a >=2
a/b + b/a - 2 >=0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0
(a-b)^2/ab >= 0
ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0