Не решая уравнение 3x^2-x-11=0, найдите значение выражения x1^2+x2^2

3x^2 - x - 11 = 0
По теореме Виета:
x1 + x2 = 1/3
x1*x2 = -11/3

x1^2 + x2^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1*x2 - 2x1*x2 = (x1 + x2)^2 - 2x1*x2 = (1/3)^2 - 2*(-11/3) = 1/9 + 22/3 = 1/9 + 66/9 = 67/9 = 7 4/9

3x² - x - 11 = 0

Найти значение выражения (x₁² +x₂²)

Решение.

3x² - x - 11 = 0

x² - х/3 - 11/3 = 0

=> p = - ¹/₃; q = - ¹¹/₃

По теореме Виета

{x₁ + x₂ = - p

{x₁ · x₂ = q

Получаем:

{x₁ + x₂ = ¹/₃

{x₁ · x₂ = - ¹¹/₃

Возведем в квадрат обе части первого уравнения:

(x₁ + x₂)² = (¹/₃)²

x₁² + 2х₁х₂ + x₂² = ¹/₉

x₁² + x₂² = ¹/₉ - 2х₁х₂

Из второго уравнения x₁ · x₂ = - ¹¹/₃

x₁² + x₂² = ¹/₉ - 2· (- ¹¹/₃)

x₁² + x₂² = ¹/₉ + ²²/₃

x₁² + x₂² = ¹/₉ + ⁶⁶/₉

x₁² + x₂² = ⁶⁷/₉

x₁² + x₂² = 7 ⁴/₉