Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти определённый интеграл

Показать ответ

Ответ:

Гольник

13.09.2020 23:51

$\int \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\Big[\; x=\dfrac{1}{cost}\; ,\; dx=\dfrac{sint\; dt}{cos^2t}\; ,\; x^2-1=\dfrac{1}{cos^2t}-1=tg^2t\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{tgt}{\frac{1}{cos^4t}}\cdot \dfrac{sint\; dt}{cos^2t}=\int \dfrac{sint\; \cdot \; sint}{\frac{1}{cos^2t}}\, dt=\int sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\int (sint\cdot cost)^2\, dt=\\\\\\=\int \Big(\; \dfrac{1}{2}\cdot sin2t\Big)^2\, dt=\dfrac{1}{4}\int sin^22t\, dt=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1-cos4t}{2}\, dt=\dfrac{1}{8}\int (1-cos4t)\, dt=$

$=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\; t-\dfrac{1}{4}\, sin4t\; \Big)+C=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)+C\; ;\\\\\\\\\int\limits^2_1\, \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)\Big|_1^2=\\\\\\=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(arccos\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{2})-arccos1+\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos1)\Big)=$

$=\dfrac{1}8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{4}\, sin\dfrac{4\pi }{3}-0+\dfrac{1}{4}\, sin0\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big (\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{\sqrt3}{8}\; \Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

azamatmarahimov

16.05.2023 15:27

Диагональ ромба равны 10 и 12 см. найдите его площадь и периметр...

wochdudj

16.05.2023 15:27

Докажите что значение выражения 27в четвёртой степени -9 в пятой степени кратно 8. решите...

ruslanamaslanuc

16.05.2023 15:27

Найдите синус и косинус угла а прямоугольного треугольника abc, если угол c равен 90 градусов, ас=9 см ав=41...

Daswert

25.11.2020 08:35

Сократите дробь:14х⁴у49х³у²...

12345678006432

03.12.2022 09:13

Постройте график функции: у =– + 2х + 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;2], на полуинтервале (1;3]...

nastya788rf

21.05.2020 21:53

Решить уравнения с числовой окружности(по указанному примеру):1) sin x=1/22) cos x=-√2/23) tg x = 14) cos 2x +1 = 05) 2 sin x+1 = 0...

igorpuzyrev1

26.03.2020 16:19

1 . Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2,5 и знаменателем -1/2. 2. В арифметической прогрессии a5= -145, a6= -130 Найдите номер первого положительного...

kmelnuk5

02.07.2021 13:57

Определи y, если 22y=256....

Камила1э

25.09.2022 22:06

Оттолкнувшись левой лапой, прыгает на 40см, правой-на 65,а обеими-на 75см. Какое наименьшее число прыжков должен сделать заяц, чтобы преодолеть ровно 100метров?...

scvdnl

03.08.2022 01:37

Сколько страниц в рукописи, если для их нумерации потребовалось цифр втрое раз больше, чем страниц, и нумерация страниц в рукописи начинается с 1?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку