Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три стороны трапеции равны а (через производную)

Показать ответ

Ответ:

vitakotov009

15.10.2020 15:51

Пусть ABCD — трапеция. Так как AB=BC=CD=a , то эта трапеция равнобедренная. Опустим перпендикуляр к большему основанию . Из прямоугольного треугольника ABH:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-a}{2}\right)^2}$

$S=\dfrac{AD+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{\big(AD-a\big)^2}{4}}$

Обозначим AD=x и рассмотрим функцию $S(x)=\dfrac{x+a}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}$

$S'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}+\dfrac{x+a}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}\cdot\left(-\dfrac{x-a}{2}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}+\dfrac{a^2-x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=\dfrac{a^2+\dfrac{2ax-2x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=0\\ \\ \\ 2a^2+ax-x^2=0\\ \\ x^2-ax-2a^2=0\\ \\ D=a^2+8a^2=9a^2;~~\sqrt{D}=8a$

$x_1=\dfrac{a+3a}{2}=2a;~~~ x_2=\dfrac{a-3a}{2}=-a$

Значение x_2 , можем отбросить. Функцию S(x) мы исследуем на промежутке решения неравенства $a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}\geq0$ и .

$(x-a)^2\leq 4a^2\\ \\ -2a\leq x-a\leq 2a\\ \\ -a\leq x\leq 3a\cup a0~~\Rightarrow~~ 0$

(0)_____+___(2a)___-____(3a)

В точке x=2a функция S(x) имеет наибольшее значение и равна $S(2a)=\dfrac{2a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{(2a-a)^2}{4}}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Периметр трапеции: P=a+a+a+2a=5a

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Vishenka333

08.02.2020 13:08

10 вариант, решить полностью, расписать на листке решение, ваши фото матчи мне не нужны...

salimova77

21.04.2020 18:24

Чтобы перевезти 60 тонн(-ы) груза, требуется определённое количество автомашин. В связи с ремонтом дороги в каждую автомашину было загружено на 1 тонн(-ы, -у) меньше,...

Ленка6

21.04.2020 18:24

Угол между векторами a=2i+5j+3k и b=-3•i+2•k равен ответы : П/4 П/2 П/6 П/3...

fanaidap

17.06.2020 11:36

При каких значениях переменной имеет смысл выражение корень х - 5. ...

Ferencvik

09.09.2021 22:48

не фото 5. 48. Выполните действия: 1) (a2+b2)(a2-b2); 2) (c3-d3)(c8+d3); 3) (10m2-n2)(10m2+n2); 4) (c4+d2)(c4+-d2); 5) (5x2+2y3)(2y3-5x2); 6) (1,4c-0,7a3)(1,4c+0,7a3)....

Шпунтя

28.03.2021 15:52

Составить три задачи по теории вероятности про машиниста и решить их...

Аркадий2018

07.01.2023 19:15

Вырази в метрах и найди значение выражения: 3 м 4см+7м 5дм 6см - 7см+ +67см-5м 7дм...

vborisenko75

07.01.2023 19:15

При каком наименьшем положительном значении параметра k период функции y=-7sin(kx+п/12) равен п/7?...

777Leha777

07.01.2023 19:15

(2х в квадрате +х-1) в знаменателе \(х в квадрате -1) и равно = 0...

anastasia3004

07.01.2023 19:15

1. расстояние между а и б поезд проезжает за 4,5 ч, при этом за 1 сек он проезжает 22 м. сколько километров пути между а и б? 2. разложите на множители выражение:...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку