А) 2·cos2x-4·cosx-1=0
Тождество: cos2x = 2·cos²x-1
2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0
4·cos²x-2-4·cosx-1=0
4·cos²x-4·cosx -3=0
Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.
Получим квадратное уравнение:
4·t²-4·t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²
t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит
t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.
Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:
cosx= -1/2, отсюда получаем
ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.
Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)
Из первого набор корней:
-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 2/3+2·k < -1
-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3
-19/6 < 2·k < -5/3 |:2
-19/12 < k < -5/6
-19/12 < k < -10/12
-19/12 < -12/12 < -10/12
k= -12/12 = -1. Тогда
x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).
Из второго набор корней:
-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 4/3+2·k < -1
-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3
-23/6 < 2·k < -7/3 |:2
-23/12 < k < -7/6
-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!
ответ: x = -4·π/3.
Т.е. все отрицательные и натуральные числа.
Множества называются равными если:
Пусть:
Так как
То:
Т.е. либо n зависит от m:
Либо m от n:
Теперь, если
Т.е. выполняется:
Значит:
Но мы знаем что для каждого n и m выполняется n=m+1. Значит противоречие и наше предположение о том что А не является подмножеством В не верно.
Т.е.
Теперь, если предположить что
Т.е. выполняется:
Значит :
Но этого не может быть. Значит противоречие.
Отсюда следует:
А) 2·cos2x-4·cosx-1=0
Тождество: cos2x = 2·cos²x-1
2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0
4·cos²x-2-4·cosx-1=0
4·cos²x-4·cosx -3=0
Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.
Получим квадратное уравнение:
4·t²-4·t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²
t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит
t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.
Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:
cosx= -1/2, отсюда получаем
ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.
Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)
Из первого набор корней:
-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 2/3+2·k < -1
-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3
-19/6 < 2·k < -5/3 |:2
-19/12 < k < -5/6
-19/12 < k < -10/12
-19/12 < -12/12 < -10/12
k= -12/12 = -1. Тогда
x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).
Из второго набор корней:
-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 4/3+2·k < -1
-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3
-23/6 < 2·k < -7/3 |:2
-23/12 < k < -7/6
-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!
ответ: x = -4·π/3.