На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018. найдите среди них любые два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стертыми, оказаласб вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел.
Сумма всех чисел от 1 до 2018 S₀ = 2018*(1+2018)/2 = 2037171 Стираем числа M и N, так, что M<N Сумма чисел между M и N S₁ = (N-M-1)*(M+1+N-1)/2 = (N-M-1)*(M+N)/2 И по условию эта сумма в два раза меньше оставшегося S₁ = 1/2 (S₀-S₁-M-N) 2S₁ = S₀-S₁-M-N 3S₁ = S₀-M-N 3S₁ = 2037171-M-N 3(N-M-1)*(M+N)/2 = 2037171-M-N 3(N-M-1)*(M+N) = 4074342-2M-2N 3(N-M-1)*(M+N) + 2(M+N)= 4074342 (3N-3M-3+2)*(M+N) = 4074342 (3N-3M-1)*(M+N) = 4074342 4074342 разложим на множители 4074342 = 2·3·673·1009 всего 16 вариантов, т.к. каждый простой делитель числа 4074342 должен входить либо в первый, либо во второй множитель. перечислим все 16 возможных произведений 1, 2, 3, 6, 673, 1009, 1346, 2018, 2019, 3027, 4038, 6054, 679057, 1358114, 2037171, 4074342 1) 3N-3M-1 = 1 M+N = 4074342 --- M-N = -2/3 //всё, дальше можно не считать, разность целых чисел не может быть дробью 2) 3N-3M-1 = 2 M+N = 2037171 --- N-M=1 M+N = 2037171 --- сложим 2N = 2037172 // слишком много, N≤2018 3) 3N-3M-1 = 3 N-M = 4/3 \\всё, следующий 4) 3N-3M-1 = 6 N-M = 7/3 \\дальше! 5) 3N-3M-1 = 673 N-M = 674/3 \\снова на 3 не делится, проехали 6)2018, 2019 3N-3M-1 = 1009 N-M = 1010/3 \\на 3 не делится 7) 3N-3M-1 = 1346 N-M = 1347/3 = 449 M+N = 3027 --- сложим 2N = 449+3027 N = 1738 M = 3027-1738 = 1289 \\есть первая пара! 8) 3N-3M-1 = 2018 N-M = 2019/3 = 673 M+N = 2019 --- складываем 2N = 2019+673 N = 1346 M = 2019-1346 = 673 //вторая пара 9) 3N-3M-1 = 2019 N-M = 2020/3 //не делится 10) 3N-3M-1 = 3027 N-M = 3028/3 //не делится 11) 3N-3M-1 = 4038 N-M = 4039/3 //не делится 12) 3N-3M-1 = 6054 N-M = 6055/3 //не делится 13) 3N-3M-1 = 679057 N-M = 679058/3 //не делится 14) 3N-3M-1 = 1358114 N-M = 1358115/3 = 452705 M+N = 3 --- складываем 2N = 3+452705 N = 226354 //всё, N должно быть меньше или равно 2018 15) 3N-3M-1 = 2037171 N-M = 2037172/3 //не делится 16) 3N-3M-1 = 4074342 N-M = 4074343/3 //не делится
S₀ = 2018*(1+2018)/2 = 2037171
Стираем числа M и N, так, что M<N
Сумма чисел между M и N
S₁ = (N-M-1)*(M+1+N-1)/2 = (N-M-1)*(M+N)/2
И по условию эта сумма в два раза меньше оставшегося
S₁ = 1/2 (S₀-S₁-M-N)
2S₁ = S₀-S₁-M-N
3S₁ = S₀-M-N
3S₁ = 2037171-M-N
3(N-M-1)*(M+N)/2 = 2037171-M-N
3(N-M-1)*(M+N) = 4074342-2M-2N
3(N-M-1)*(M+N) + 2(M+N)= 4074342
(3N-3M-3+2)*(M+N) = 4074342
(3N-3M-1)*(M+N) = 4074342
4074342 разложим на множители
4074342 = 2·3·673·1009
всего 16 вариантов, т.к. каждый простой делитель числа 4074342 должен входить либо в первый, либо во второй множитель. перечислим все 16 возможных произведений
1, 2, 3, 6, 673, 1009, 1346, 2018, 2019, 3027, 4038, 6054, 679057, 1358114, 2037171, 4074342
1)
3N-3M-1 = 1
M+N = 4074342
---
M-N = -2/3 //всё, дальше можно не считать, разность целых чисел не может быть дробью
2)
3N-3M-1 = 2
M+N = 2037171
---
N-M=1
M+N = 2037171
--- сложим
2N = 2037172 // слишком много, N≤2018
3)
3N-3M-1 = 3
N-M = 4/3 \\всё, следующий
4)
3N-3M-1 = 6
N-M = 7/3 \\дальше!
5)
3N-3M-1 = 673
N-M = 674/3 \\снова на 3 не делится, проехали
6)2018, 2019
3N-3M-1 = 1009
N-M = 1010/3 \\на 3 не делится
7)
3N-3M-1 = 1346
N-M = 1347/3 = 449
M+N = 3027
--- сложим
2N = 449+3027
N = 1738
M = 3027-1738 = 1289 \\есть первая пара!
8)
3N-3M-1 = 2018
N-M = 2019/3 = 673
M+N = 2019
--- складываем
2N = 2019+673
N = 1346
M = 2019-1346 = 673 //вторая пара
9)
3N-3M-1 = 2019
N-M = 2020/3 //не делится
10)
3N-3M-1 = 3027
N-M = 3028/3 //не делится
11)
3N-3M-1 = 4038
N-M = 4039/3 //не делится
12)
3N-3M-1 = 6054
N-M = 6055/3 //не делится
13)
3N-3M-1 = 679057
N-M = 679058/3 //не делится
14)
3N-3M-1 = 1358114
N-M = 1358115/3 = 452705
M+N = 3
--- складываем
2N = 3+452705
N = 226354 //всё, N должно быть меньше или равно 2018
15)
3N-3M-1 = 2037171
N-M = 2037172/3 //не делится
16)
3N-3M-1 = 4074342
N-M = 4074343/3 //не делится
Итого - две пары
M=1289 N=1738
M=673 N=1346