Меньшая сторона прямоугольника равна 16 см и образует с диагональю угол 60 градусов. Середины сторон прямоугольника последовательно соеденены. Определите вид образовавшегося четырехугольника и найдите его периметр.

Найдём большую сторону прямоугольника. Она является катетом в прямоугольном ΔABD.

Для этого нам нужно сперва найти его гипотенузу. Сторона AB лежит против угла в 30° (∠BDA = 90° - ∠ABD = 90° - 60° = 30°).

Теорема: сторона, лежащая против угла в 30° в прямоугольном треугольнике, равняется половине гипотенузы.

BD = 2AB = 32 см .

По теореме Пифагора находим большую сторону прямоугольника:

BD² = AD² + AB²

32² = AD² + 16²

1024 = AD² + 256

AD² = 768

AD = √768 = √(256 * 3) = 16√3

Стороны BF, AH, HD и FC равны. Они равняются половинам сторон BC и AD, а, так как BC = AD, BC/2 = AD/2.

Соответственно, стороны EB, EA, CG и GD также равны.

Таким образом, прямоугольные ΔBEF, ΔCGF, ΔDGH и ΔAEH равны по двум катетам. Соответственно равны и их гипотенузы. Найдём их по той же теореме Пифагора:

EF² = BF² + BE²

EF² = (8√3)² + 8²

EF² = 192 + 64

EF² = 256

EF = 16

Периметр четырёхугольника равен 4EF = 64 см.

Четырёхугольник является ромбом, так как все его стороны равны.