кто чем сможет Задача 1: 1
: 2
Все звенья десятизвенной ломаной
A
0
A
1
…
A
1
0
A
0
A
1
…A
10
имеют целочисленную длину, длина всей ломаной составляет
1
2
0
120 и никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой. Найдите наибольшую возможную длину ломаной
A
0
A
1
A
2
A
4
A
8
A
1
0
A
0
A
1
A
2
A
4
A
8
A
10
, если её звенья также целочисленны.
Пример записи ответа
17
Отправить
Задача 2: 2
: 3
Натуральные числа
a
a и
b
b таковы, что НОК
(
a
,
b
)
+
(a,b)+ НОД
(
a
,
b
)
=
3
a
+
7
b
(a,b)=3a+7b. Найдите наименьшее возможное значение числа
a
a.
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 3: 3
: 3
Из числа, записанного на доске, вычитают его наибольшую цифру, после чего получившуюся разность записывают на доску вместо исходного числа. После
1
1
11 таких операций на доске оказалось число
1
0
0
100. Какое наибольшее число могло быть записано изначально?
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 4: 4
: 3
По шоссе, представляющему из себя окружность, провели заезд
1
0
10 машин. Каждая из машин ехала с постоянной скоростью. Первая машина проехала ровно
1
1
11 кругов, вторая
−
− ровно
1
2
12, и так далее, последняя
−
− ровно
2
0
20. Каждая следующая машина проехала на один круг больше предыдущей. Стартовали и финишировали все машины одновременно в одной и той же точке.
К каждой точке, в которой хотя бы один раз произошёл обгон, поставили флажок. Сколько всего получилось флажков?
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 5: 5
: 3
В некоторой стране
1
1
11 городов. Некоторые города были соединены двусторонними авиарейсами, не больше одного рейса между каждыми двумя городами. Из-за пандемии часть авиарейсов закрыли. После этого страна оказалась разделена на
5
5 частей, между которыми не существует авиарейсов.
Какое наибольшее число рейсов могло остаться?
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 6: 6
: 3
График приведённого квадратного трёхчлена
f
(
x
)
f(x) касается прямой
y
=
x
y=x (то есть имеет с ней единственную общую точку). Кроме того, этот трёхчлен имеет единственный корень. Найдите этот корень.
Примеры записи ответа:
17
-1/7
1,7
1.7
Отправить
Задача 7: 7
: 3
Числа
p
⩽
q
⩽
r
p⩽q⩽r простые, и число
s
=
6
p
4
+
5
q
4
+
4
r
4
s=6p
4
+5q
4
+4r
4
тоже простое. Найдите наибольшее возможное значение
s
s.
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 8: 8
: 3
Точки
A
A,
B
B,
C
C,
D
D,
E
E и
F
F лежат на окружности именно в таком порядке. Хорды
A
D
AD и
B
E
BE пересекаются в точке
X
X,
A
D
AD и
C
F
CF в точке
Y
Y,
B
E
BE и
C
F
CF в точке
Z
Z.
X
A
=
1
2
XA=12,
X
B
=
1
4
XB=14,
Y
C
=
2
2
YC=22,
Y
D
=
2
5
YD=25,
Z
E
=
2
0
ZE=20,
Z
F
=
1
5
ZF=15. Треугольник
X
Y
Z
XYZ равносторонний. Найдите его сторону.
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 9: 9
: 4
На сторонах
A
D
AD и
B
C
BC параллелограмма
A
B
C
D
ABCD отмечены точки
E
E и
F
F соответственно. Отрезки
A
F
AF и
B
E
BE пересекаются в точке
K
K, а отрезки
D
F
DF и
C
E
CE в точке
M
M.
S
B
F
K
=
3
S
BFK
=3,
S
C
F
M
=
2
5
S
CFM
=25,
S
E
M
F
K
=
2
6
S
EMFK
=26. Найдите
S
C
M
D
S
CMD
.
Пример записи ответа:
17
Отправить
Задача 10: 10
: 5
У Вани есть четыре краски. Сколькими он может раскрасить вершины куба каждую в свой цвет, если у одной грани могут быть вершины максимум двух различных цветов? Все цвета использовать не обязательно, раскраски, отличающиеся поворотом или симметрией считаются разными.
Пример записи ответа:
{х-2y=1
{x=1+2y
Подставляем полученный X во второе уравнение (не забываем скобки, т.к. 1+2y это двучлен):
(1+2y)*2-3y*2=1
Раскрываем скобки:
2+4y-6y=1
Считаем и переносим всё без Y вправо, а с Y влево (если число перенеслось из одной части в другую, то знак меняется на противоположный):
4y-6y=1-2
-2y=-1 (для удобства можно умножить на -1, чтобы поменять знаки на противоположные):
2y=1
y= 1:2
y= 0,5
Теперь этот Y подставляем в уравнение, с которым мы уже работали (x-2y=1):
x-2*0,5=1
Считаем и переносим с X в одну сторону, всё без X в другую:
x-1=1
x=1+1
x=2
В ответ пишем наши полученные переменные:
ОТВЕТ: x=2; y=0,5.
n(n+1) = 25k+1 ; рассмотрим остатки от деления числа n на 5 :
1) если n = 5m , то левая часть кратна 5 , а правая нет
2) если n = 5m+1 , то n(n+1) = (5m+1)·(5m+2) = 25m²+15m +2
25m²+15m +2 = 25k+1 или : 25m²+15m - 25k = -1 , равенство
невозможно , так как левая часть кратна 5 , а правая нет
3) если n = 5m+2, то n(n+1) = (5m+2)·(5m+3) = 25m²+25m +6 ,
25m²+25m +6 = 25k +1 или : 5m² +5m -5k = - 1 ; равенство
невозможно , так как левая часть кратна 5 , а правая нет
4) если n = 5m+3 , то n(n+1) = (5m+3)·(5m+4) = 25m² + 35m +12
25m² + 35m +12 = 25k+1 ⇒ 25m² + 35m -25k = -11 ; равенство
невозможно , так как левая часть кратна 5 , а правая нет
5) если n = 5m+4 , то n(n+1) = (5m+4)·(5m+5) = 5( m+1)(5m+4)
5( m+1)(5m+4) = 25k +1 , равенство невозможно ,
так как левая часть кратна 5 , а правая нет