Контрольная работа №1
Тема «Дифференциальное исчисление»
1) Даны функции f(x), g(t), h(x).
a) Найдите производные этих функций.
b) Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой х0.
c) Найдите вторую производную функции h(x).
d) Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно по
закону y=f(x), в конце первой секунды.
2) На рисунке изображен график функции y=f(x). Укажите:
a) Промежутки, где производная функции положительна, отрицательна;
b) Критические точки функции;
c) Точки экстремума функции.
3) Для данной функции y=f(x) найдите:
a) Область определения функции D(f).
b) Производную и критические точки.
c) Промежутки монотонности.
d) Точки экстремума и экстремумы функции.
e) Точки пересечения графика функции с осями координат и
дополнительные точки.
f) Постройте график функции.
РЕШЕНИЕ:
Чтобы определить, какая из данных точек лежит на графике функции у = - 0,5х + 4, необходимо подставить координаты этих точек ( Е ( х ; у ) ) в заданную функцию, получаем:
A( 8 ; 0 ) :
0 = - 0,5 • 8 + 4
0 = - 4 + 4
0 = 0 => точка А( 8 ; 0 ) принадлежит графику функции
B( - 2 ; 3 ) :
3 = - 0,5 • ( - 2 ) + 4
3 = 1 + 4
3 = 5 => точка В( - 2 ; 3 ) не принадлежит графику функции
С( - 2 ; 5 ) :
5 = - 0,5 • ( - 2 ) + 4
5 = 1 + 4
5 = 5 => точка С( - 2 ; 5 ) принадлежит графику функции
D( 2 ; 5 ) :
5 = - 0,5 • 2 + 4
5 = - 1 + 4
5 = 3 => точка D( 2 ; 5 ) не принадлежит графику функции
Итак, точки, лежащие на графике функции у = - 0,5х+4 : А( 8 ; 0 ) и С( - 2 ; 5 )
• График линейной функции у = - 0,5х + 4 показан в приложении •
По условию наши прямые параллельны, значит, k=80.
Наша прямая y= kx - 7,7 теперь имеет вид у = 80х-7,7.
А теперь в это уравнение у = 80х - 7,7 будем вместо х и у будем подставлять координаты каждой из данной точек.
а) Проверим точку с координатами (0,125; 2;2), для этого
х = 0,125: у = 2,2 подставим в уравнение у = 80х-7,7.
2,2 = 80 · 0,125 - 7,7
2,2 ≠ 2,3 равенство не выполняется, значит, прямая у = 80х-7,7 не проходит через точку (0,125; 2;2),
б)Аналогично проверим точку(1; 3) .
3 = 80 · 1 - 7,7
3 ≠ 72,3 равенство не выполняется, значит, прямая у = 80х-7,7 не проходит через точку (1; 3).
в) Проверяем точку (0,3; 0,1).
0,1 = 80·0,3 -7,7
0,1 ≠ 16,3 равенство не выполняется, значит, прямая у = 80х-7,7 не проходит через точку (0,3; 0,1).
г) Проверяем точку (0; 7)
7 = 80·0-7,7
7 ≠ -7,7 равенство не выполняется, значит, прямая у = 80х-7,7 не проходит через точку (0; 7).
д) И, наконец , проверим точку (0,1; 0,3).
0,3 = 80·0,1 - 7,7
0,3 = 0,3 равенство выполняется, значит, прямая у = 80х-7,7 проходит через точку (0,1; 0,3).
ответ. Прямая y= kx - 7,7 параллельная прямой y = 80x +79 проходит через точку д) (0,1; 0,3).