Исследовать функцию y=tg2пх 1) производная 2) критические точки 3) исследовать y' на знак 4) сделать вывод, где возрастает и убывает, точки max и min 5) найти вторую производную 6) найти точки перегиба 7) исследовать вторую производную на знак 8) сделать вывод о выпуклости вверх или вниз, и о точках перегиба 9) построить график

Показать ответ

Ответ:

МуратгалиевАмир

07.10.2020 14:30

$y=\mathrm{tg}2 \pi x \\\ 2 \pi x \neq \dfrac{ \pi }{2} + \pi n \\\ x \neq \dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} 
\\\
x\in \left(\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 3}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$

$y'= \dfrac{1}{\cos^22 \pi x} \cdot (2 \pi x)'=\dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x}$

$y'=0: \\\ \dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x} =0$
- производная не принимает нулевых значений.

Производная не существует в точках, не попавших в область определения функции: $x =\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2}$

Учитывая положительный знаменатель производной, получаем, что функция возрастает на всей области определения при $x\in \left(\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 3}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$ . Точек максимума и минимума функция не имеет

$y''= \left(\dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x} \right)'= 2 \pi((\cos2 \pi x)^{-2})'= \\\ 
=2 \pi\cdot (-2(\cos2 \pi x)^{-3})\cdot (\cos2 \pi x)'= \\\ =- \dfrac{4 \pi }{\cos^32 \pi x} \cdot (-\sin2 \pi x)\cdot (2 \pi x)'= \\\ = \dfrac{4 \pi \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} \cdot 2 \pi = \dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x}$

$y''=0
\\\
\dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} =0
\\\
8 \pi^2 \sin2 \pi x =0
\\\
\sin2 \pi x =0
\\\
2 \pi x= \pi n
\\\
2 x= n
\\\
x= \dfrac{ n}{2} , \ n\in Z$

$x= \dfrac{ n}{2} , \ n\in Z$ - точки перегиба

$y''\ \textgreater \ 0 \\\ 
\dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} \ \textgreater \ 0
\\\
\dfrac{ \sin2 \pi x }{\cos2 \pi x} \ \textgreater \ 0
\\\
\mathrm{tg}2 \pi x\ \textgreater \ 0
\\\
x\in \left(\dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$

$y''\ \textless \ 0 \\\ 
x\in \left(-\dfrac{ 1}{4}+\dfrac{ n}{2} ; \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$

Функция выпукла при $x\in \left(\dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$
Функция вогнута при $x\in \left(-\dfrac{ 1}{4}+\dfrac{ n}{2} ; \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z$

Исследовать функцию y=tg2пх 1) производная 2) критические точки 3) исследовать y' на знак 4) сделать