Собственная скорость лодки: v км/ч
Скорость течения: v₀ = 1 км/ч
Скорость лодки по течению: v + 1 км/ч
Скорость лодки против течения: v - 1 км/ч
Время на путь против течения:
t₁ = S₁/(v - 1)
Время на путь по течению:
t₂ = S₂/(v + 1)
По условию:
t₁ + t₂ ≤ 2
Тогда:
S₁/(v - 1) + S₂/(v + 1) ≤ 2
21(v + 1) + 8(v - 1) ≤ 2(v - 1)(v + 1)
21v + 21 + 8v - 8 - 2v² + 2 ≤ 0
2v² - 29v - 15 ≥ 0 D = b²-4ac = 841+120 = 961 = 31²
v₁₂ = (-b±√D)/2a
v₁ = -0,5 - не удовлетворяет условию
v₂ = 15 (км/ч)
ответ: собственная скорость лодки не должна быть
меньше 15 км/ч
Объяснение:
1) Упростим числитель:
√3*sin(-π/3)-2*ctg(-π/4)=√3*(-√3/2)-2*(-1)=(-3/2)+2=-1,5+2=0,5.
Упростим знаменатель:
2*tg²(-π/3)-ctg²(π/6)-sin(π/6)=2*(-√3)²-(√3/3)²-0,5=6-3-0,5=2,5. ⇒
0,5:2,5=0,2.
2) sinα=15/17 0<α<π/2 cosα=? ctg=?
sin²α+cos²α=1
cos²α=1-sin²α=1-(15/17)²=1-(225/289)=(289-225)/289=64/289.
cosα=√(64/289)=±8/17.
Так как 0<α<π/2 ⇒ cosα=8/17.
ctgα=cosα/sinα=(8/17)/(15/17)=8/15.
ответ: cosα=8/7 ctgα=8/15.
3. ctg²(2π-α)+sin(π/2-α)/sin(π/2+α)=ctg²(-α)+(sinα/sinα)=
=(-ctgα)²+1=ctgα+1=(cos²α/sin²α)+1=(cos²α+sin²α)/sin²α=
=1/sin²α.
4. Упростим числитель:
1-cos(2α)+sin(2α)=sin²α+cos²α-(cos²α-sin²α)+2*sinα*cosα=
=sin²α+cos²α-cos²α+sin²α+2*sinα*cosα=
=2*sin²α+2*sinα*cosα=2*sinα*(sinα+cosα).
1+cos(2α)+sin(2α)=sin²α+cos²α+cos²α-sin²α+2*sinα*cosα=
=2*cos²α+2*sinα*cosα=2*cosα*(sinα+cosα). ⇒
2*sinα*(sinα+cosα)/2*cosα*(sinα+cosα)=sinα/cosα=tgα.
Собственная скорость лодки: v км/ч
Скорость течения: v₀ = 1 км/ч
Скорость лодки по течению: v + 1 км/ч
Скорость лодки против течения: v - 1 км/ч
Время на путь против течения:
t₁ = S₁/(v - 1)
Время на путь по течению:
t₂ = S₂/(v + 1)
По условию:
t₁ + t₂ ≤ 2
Тогда:
S₁/(v - 1) + S₂/(v + 1) ≤ 2
21(v + 1) + 8(v - 1) ≤ 2(v - 1)(v + 1)
21v + 21 + 8v - 8 - 2v² + 2 ≤ 0
2v² - 29v - 15 ≥ 0 D = b²-4ac = 841+120 = 961 = 31²
v₁₂ = (-b±√D)/2a
v₁ = -0,5 - не удовлетворяет условию
v₂ = 15 (км/ч)
ответ: собственная скорость лодки не должна быть
меньше 15 км/ч
Объяснение:
1) Упростим числитель:
√3*sin(-π/3)-2*ctg(-π/4)=√3*(-√3/2)-2*(-1)=(-3/2)+2=-1,5+2=0,5.
Упростим знаменатель:
2*tg²(-π/3)-ctg²(π/6)-sin(π/6)=2*(-√3)²-(√3/3)²-0,5=6-3-0,5=2,5. ⇒
0,5:2,5=0,2.
2) sinα=15/17 0<α<π/2 cosα=? ctg=?
sin²α+cos²α=1
cos²α=1-sin²α=1-(15/17)²=1-(225/289)=(289-225)/289=64/289.
cosα=√(64/289)=±8/17.
Так как 0<α<π/2 ⇒ cosα=8/17.
ctgα=cosα/sinα=(8/17)/(15/17)=8/15.
ответ: cosα=8/7 ctgα=8/15.
3. ctg²(2π-α)+sin(π/2-α)/sin(π/2+α)=ctg²(-α)+(sinα/sinα)=
=(-ctgα)²+1=ctgα+1=(cos²α/sin²α)+1=(cos²α+sin²α)/sin²α=
=1/sin²α.
4. Упростим числитель:
1-cos(2α)+sin(2α)=sin²α+cos²α-(cos²α-sin²α)+2*sinα*cosα=
=sin²α+cos²α-cos²α+sin²α+2*sinα*cosα=
=2*sin²α+2*sinα*cosα=2*sinα*(sinα+cosα).
Упростим знаменатель:
1+cos(2α)+sin(2α)=sin²α+cos²α+cos²α-sin²α+2*sinα*cosα=
=2*cos²α+2*sinα*cosα=2*cosα*(sinα+cosα). ⇒
2*sinα*(sinα+cosα)/2*cosα*(sinα+cosα)=sinα/cosα=tgα.