А) Частная производная по х: zₓ'=((x+2y)*y²)ₓ'=(xy²+2y³)ₓ'=(xy²)ₓ'+(2y³)ₓ'=y²+0=y² Частная производная по у (при переписывании вместо а надо писать у, в предложенных индексах нет такой буквы, потому использую а: zₐ'=((x+2y)*y²)ₐ'=(xy²+2y³)ₐ'=(xy²)ₐ'+(2y³)ₐ'=2xy+6y²
I. Надеюсь, что под корнем всё выражение)
• Перепишем исходную функцию:
y = 4√(x² - 8x + 15)
D (y) - ?
• Выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. получаем следующее неравенство:
x² - 8x + 15 ≥ 0
• Вводим функцию:
ƒ (x) = x² - 8x + 15 , D (ƒ) = ℝ
• График парабола, ветви вверх
• Ищем нули функции:
x² - 8x + 15 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
x(1) = 5 и x(2) = 3
• Строим числовую ось, отмечаем точки и учитывая направление ветвей параболы ищем промежутки знакопостоянства
• Получается, что ƒ (x) ≥ 0 на: ( - ♾ ; 3] ⋃ [5 ; + ♾ )
⇒ D (y) : ( - ♾ ; 3] ⋃ [5 ; + ♾ )
ответ: ( - ♾ ; 3] ⋃ [5 ; + ♾ )
II. Но если под корнем только был x, то гораздо проще:
y = 4√x² - 8x + 15
D (y) - ?
x² ≥ 0
А квадрат любого действительного числа всегда будет неотрицательным, ⇒ D (y) = ℝ
ответ : ℝ
zₓ'=((x+2y)*y²)ₓ'=(xy²+2y³)ₓ'=(xy²)ₓ'+(2y³)ₓ'=y²+0=y²
Частная производная по у (при переписывании вместо а надо писать у, в предложенных индексах нет такой буквы, потому использую а:
zₐ'=((x+2y)*y²)ₐ'=(xy²+2y³)ₐ'=(xy²)ₐ'+(2y³)ₐ'=2xy+6y²
в) zₓ'=(9(x-y²)⁴)ₓ'=9*((x-y²)⁴)ₓ'*(x-y²)ₓ'=9*4*(x-y²)³*1=36(x-y²)³
zₐ'=((9(x-y²)⁴)ₐ'=9*((x-y²)⁴)ₐ'*(x-y²)ₐ'=9*4*(x-y²)³*(-2y)=-72y(x-y²)³
б) zₓ'=(cos(2x+e^y))ₓ'=(cos(2x+e^y))ₓ'*(2x+e^y)ₓ'=-sin(2x+e^y)*2=-2sin(2x+e^y)
zₐ'=(cos(2x+e^y))ₐ'=(cos(2x+e^y)ₐ'*(2x+e^y)ₐ'=-sin(2x+e^y)*e^y