Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите неравенство

Показать ответ

Ответ:

wondermang

08.08.2022 08:12

По неравенству о средних имеем

$\log_{30}2\cdot \log_{30}3\leq \left(\dfrac{\log_{30}2+\log_{30}3}{2}\right)^2=\dfrac{\log_{30}^26}{4}$ .
Тогда

$\log_{30}5\cdot \log_{30}6+\log_{30}2\cdot \log_{30}3\leq \log_{30}5\cdot \log_{30}6+\dfrac{\log_{30}^26}{4}=\\ =\left(\dfrac{\log_{30}6}{2}+\log_{30}5\right)^2-\log_{30}^25=\dfrac{1}{4}\cdot \left(\log_{30}6+\log_{30}25\right)^2-\log_{30}^25=\\ =\dfrac{1}{4}\cdot \left(1+\log_{30}5\right)^2-\log_{30}^25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$
Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{4}\cdot (1+x)^2-x^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}x^2$ .

Т.к. коэффициент при x^2 отрицателен, то ветви параболы направлены вниз, и максимум достигается лишь в вершине.
Абсцисса вершины $x_0=\dfrac{-1/2}{2\cdot (-3/4)}=\dfrac{1}{3}$ , а сам максимум $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot\left (1+\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$ .

Т.к., очевидно, $\log_{30}5\neq \dfrac{1}{3}$ ( $5^3=125\neq 30$ ), то и $f(\log_{30}5) < \dfrac{1}{3}$ - а $f(\log_{30}5)$ есть не что иное, как (1) .

Ч.т.д.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Daleton

21.05.2023 12:09

Решите соединить нужно...

Matveu331

05.02.2023 19:00

Фотка решить!Хотя бы одинСумаа геометрической прогрессииВродеее...

Vankoed

01.09.2021 17:01

Нужен ответ! известно ,что абсцисса некоторой точки прямой,заданной уравнением -3x-10y-14=0, равна -2.вычисли ордината этой точки....

rageworker

01.09.2021 17:01

Найдите область определения функции: у=1/(х^2-х^4 )....

LolliPop611

31.05.2022 10:03

Разложи на множители многочлен d3 – d2 – 4d + 4. d3 – d2 – 4d + 4 d 2( – ) – 4d + 4 = d 2(– ) – 4(– 1) = (d – 1)(d 2 –) = (d – 1 )(–)(+)...

Lika46763

08.10.2022 07:50

Решите хотя бы 3 задания 4 можете не писать, но по возможности тоже напишите !...

zexer9p07xi1

25.10.2021 01:45

Соедините последовательно точки с координатами (х1; х2), а для выделенных уравнений – с координатами (х2; х1)(х1 – меньший, х2 – больший корень уравнения)...

EeThreeMan

18.12.2021 05:40

12. (02-6-6) На сколько процентов уменьшится пло- щадь квадрата, если его периметр уменьшитьна 10%??А)10 В) С)16 D)19 Е)8 ответьте...

LILIAGNATIV

21.08.2021 19:06

Решите уравнение 2,6,7 и номер 2 используя свойства пропорции решите уравнение...

камаз9

28.11.2021 01:07

Какие из чисел – 4; — 3; -1; 2; 0; 3; 5; 7 являются решениями системы неравенствІ — 5 О.3x 9?Вответе запиши числа через «» в порядкевозрастания, например: 1; 2; 3.ответ:...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку