Пример 1.
Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
Решение.
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
Пример 2.
Решить уравнение: 9x2 + 4y2 + 13 = 12(x + y).
Группируем:
(9x2 – 12x + 4) + (4y2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
Получим:
(3x – 2)2 + (2y – 3)2 = 0.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
ответ: (2/3; 3/2).
Пример 3.
Решить уравнение: (x2 + 2x + 2)(y2 – 4y + 6) = 2.
В каждой скобке выделим полный квадрат:
((x + 1)2 + 1)((y – 2)2 + 2) = 2. Оценим Уравнения с двумя переменнымизначение выражений, стоящих в скобках.
(x + 1)2 + 1 ≥ 1 и (y – 2)2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
(x + 1)2 + 1 = 1 и (y – 2)2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
ответ: (-1; 2).
Нельзя.
Объяснение:
Так как вариантов слишком много, то придется зайти с другой стороны.
Для начала следует вычесть единицу, а потом делть на 3 или 4.
2019 не делится на четыре так как оно не четное. На три делится, так как сумма цифр делится на три - 2+0+1+9=12
Разделив на три получаем число 673 и сразу же вычитаем единицу. Полученное число делится и на три и на четыре, потому придется пробовать все варианты.
672/4=168
168-1=167 (не делится на четыре)
167/3=56
56-1=55 (не делится ни на три ни на четыре)
Попробуем другим путем.
672/3=224
224-1=223 (это простое число)
Пример 1.
Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
Решение.
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
Равенство нулю неотрицательных чиселПример 2.
Решить уравнение: 9x2 + 4y2 + 13 = 12(x + y).
Решение.
Группируем:
(9x2 – 12x + 4) + (4y2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
Получим:
(3x – 2)2 + (2y – 3)2 = 0.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
ответ: (2/3; 3/2).
Оценочный методПример 3.
Решить уравнение: (x2 + 2x + 2)(y2 – 4y + 6) = 2.
Решение.
В каждой скобке выделим полный квадрат:
((x + 1)2 + 1)((y – 2)2 + 2) = 2. Оценим Уравнения с двумя переменнымизначение выражений, стоящих в скобках.
(x + 1)2 + 1 ≥ 1 и (y – 2)2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
(x + 1)2 + 1 = 1 и (y – 2)2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
ответ: (-1; 2).
Нельзя.
Объяснение:
Так как вариантов слишком много, то придется зайти с другой стороны.
Для начала следует вычесть единицу, а потом делть на 3 или 4.
2019 не делится на четыре так как оно не четное. На три делится, так как сумма цифр делится на три - 2+0+1+9=12
Разделив на три получаем число 673 и сразу же вычитаем единицу. Полученное число делится и на три и на четыре, потому придется пробовать все варианты.
672/4=168
168-1=167 (не делится на четыре)
167/3=56
56-1=55 (не делится ни на три ни на четыре)
Попробуем другим путем.
672/3=224
224-1=223 (это простое число)