Данное дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ I) Здесь y' = dy/dx. Значит, (x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1) dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1) Проинтегрировав обе части уравнения, 1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов) 2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2 получим arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1) arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)
а) Викладемо кулі в ряд. Для визначення розкладу наших куль по шести скриньок розділимо ряд п'ятьма перегородками на шість груп: перша група для першого ящика, друга - для другого і так далі. Таким чином, число варіантів розкладки куль по шухлядах дорівнює числу в розташування п'яти перегородок. Перегородки можуть стояти на будь-якому з 19 місць (між 20 кулями - 19 проміжків). Тому число їх можливих розташувань одно.
б) Розглянемо ряд з 25 предметів: 20 куль і 5 перегородок, розташованих в довільному порядку. Кожен такий ряд однозначно відповідає деякому розкладки куль по ящиках: в перший ящик потрапляють кулі, розташовані лівіше першої перегородки, в другій - розташовані між першою і другою перегородками і т. Д. (Між якимись перегородками куль може і не бути). Тому число в розкладки куль по шухлядах дорівнює числу різних рядів з 20 куль і 5 перегородок, тобто одно
Здесь y' = dy/dx. Значит,
(x^2+1)dy=(y^2+1)x dx | : (x^2+1) : (y^2+1) (комментарий: разделим оба части уравнения на x^2+1 и y^2+1)
dy/(y^2+1) = x dx / (x^2+1)
Проинтегрировав обе части уравнения,
1) dy/(y^2+1) = arctg y +C1(по таблице интегралов)
2) x dx / (x^2+1) = d(x^2+1) / (x^2+1) = 1/2 ln(x^2+1) +C2
получим
arctg y + C1 = 1/2 ln(x^2 + 1) + C2 (Пусть C = C2-C1)
arctg y = 1/2 ln(x^2 +1) + C - общий интеграл данного ОДУ (т.е. само решение)
Объяснение:
Рішення
а) Викладемо кулі в ряд. Для визначення розкладу наших куль по шести скриньок розділимо ряд п'ятьма перегородками на шість груп: перша група для першого ящика, друга - для другого і так далі. Таким чином, число варіантів розкладки куль по шухлядах дорівнює числу в розташування п'яти перегородок. Перегородки можуть стояти на будь-якому з 19 місць (між 20 кулями - 19 проміжків). Тому число їх можливих розташувань одно.
б) Розглянемо ряд з 25 предметів: 20 куль і 5 перегородок, розташованих в довільному порядку. Кожен такий ряд однозначно відповідає деякому розкладки куль по ящиках: в перший ящик потрапляють кулі, розташовані лівіше першої перегородки, в другій - розташовані між першою і другою перегородками і т. Д. (Між якимись перегородками куль може і не бути). Тому число в розкладки куль по шухлядах дорівнює числу різних рядів з 20 куль і 5 перегородок, тобто одно