Очень нужно В каких точках графика функции f(x)= -2x^3+2x^2+2x+3 касательная к нему образует острый угол с осью абсцисс. Решение: Острый угол это угол меньше 90 градусов Тангенс угла наклона касательной равен производной от данной функции f'(x)= (-2x^3+2x^2+2x+3)' = -6x²+4x+2 Острый угол касательной будет если ее угловой коэффициент больше 0 либо равен 0 f'(x) ≥ 0 -6x²+4x+2 ≥ 0 3x² -2x -1 ≤ 0 Разложим квадратный трехчлен на множители 3x² -2x -1 = 0 D =(-2)² -4*3*(-1) =4 +12 =16 x1 =(2-4)/(2*3) =-2/6 = -1/3 x2 =(2+4)/(2*3) = 6/6 = 1 3x² -2x -1 = 3(x + 1/3)(x-1) = (3x + 1)(x -1) Запишем заново неравенство (3x + 1)(x -1) ≤ 0 Решим методом интервалов Значения х в которых множители меняют свой знак x1 = -1/3 x2 = 1 На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства полученные методом подстановки + - + !! -1/3 1 Поэтому неравенство имеет решение для всех значений х принадлежащих [1/3;1] ответ: [1/3;1]
В каких точках графика функции f(x)= -2x^3+2x^2+2x+3 касательная к нему образует острый угол с осью абсцисс.
Решение:
Острый угол это угол меньше 90 градусов
Тангенс угла наклона касательной равен производной от данной функции
f'(x)= (-2x^3+2x^2+2x+3)' = -6x²+4x+2
Острый угол касательной будет если ее угловой коэффициент больше 0 либо равен 0
f'(x) ≥ 0
-6x²+4x+2 ≥ 0
3x² -2x -1 ≤ 0
Разложим квадратный трехчлен на множители
3x² -2x -1 = 0
D =(-2)² -4*3*(-1) =4 +12 =16
x1 =(2-4)/(2*3) =-2/6 = -1/3
x2 =(2+4)/(2*3) = 6/6 = 1
3x² -2x -1 = 3(x + 1/3)(x-1) = (3x + 1)(x -1)
Запишем заново неравенство
(3x + 1)(x -1) ≤ 0
Решим методом интервалов
Значения х в которых множители меняют свой знак
x1 = -1/3 x2 = 1
На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства полученные методом подстановки
+ - +
!!
-1/3 1
Поэтому неравенство имеет решение для всех значений
х принадлежащих [1/3;1]
ответ: [1/3;1]
1) x≥-2
x-2≥0
3*√(x+2) = 6 - x + 2
Решаем первую систему:
x≥-2
x≥2
3*√(x+2) = 8 - x - возведем обе части уравнения в квадрат, т.к справа будет положительное число
x≥2
9(x+2) = 64 - 16x + x^2
x^2 - 16x + 64 - 9x - 18 = 0
x^2 - 25x + 46 = 0, D = 441 = 21^2
x1 = (25 - 21)/2 = 4/2 = 2
x2 = (25 + 21)/2 = 46/2 = 23
Оба решения удовлетворяют ОДЗ и интервалу системы.
2) -2≤x<2
3*√(x+2) = 6 - (2 - x) = 4 - x - возведем обе части в квадрат, справа положит.число
9(x+2) = 16 - 8x + x^2
x^2 - 8x + 16 - 9x - 18 = 0
x^2 - 17x - 2 = 0
D = 297
x3 = (17 - √297)/2 ≈ -0.12
x4 = (17 + √297)/2 ≈ 17.11 - не удовлетворяет интервалу системы.
ответ: 2, 23, (17 - √297)/2