Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, в которой S8=85, а b1=−1?

Показать ответ

Ответ:

Dash528

05.06.2023 12:58

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так

0,0(0 оценок)

Ответ:

olyamin0

28.01.2023 13:35

$b_n = b_1q^{n-1}, b_n^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}, b_n^3 = b_1^3 (q^3)^{n-1}$

Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии справедлива формула:

$S = \frac{b_1}{1 -q}$

Значит для второй и третьей последовательности (квадратов и кубов) справедливо:

$S_1 = \frac{b_1^2}{1 -q^2}, S_2 = \frac{b_1^3}{1 - q^3}$

Нам известно, что:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{20}{21} = \frac{\frac{b_1^3}{1 -q^3} }{\frac{b_1^2}{1 -q^2}} = b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3}$

И известно:

b1 + b1q = 1,25 = b1(1 + q)

Получаем:

$b1\frac{1 - q^2}{1 - q^3} = b1\frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q^3} = \{b1(1 + q) = 1,25\} = 1,25 \frac{1 + q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}$

$\frac{5}{4} \frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{20}{21}$

$\frac{1 - q}{1 - q^3} = \frac{16}{21}$

Получаем уравнение

16q^3 - 21q + 5 = 0

Перебором делителей свободного члена находим, что корнем является q = 1 (который, нам, однако, не подходит, поскольку |q| должен быть меньше 1 т.к. прогрессия бесконечно убывает) и поделив на q - 1 получаем:

16q^2 + 16q - 5 = 0

Находя корни квадратного уравнения, получаем:

$q_1 = \frac{1}{4}, q_2 = -\frac{5}{4}$

Из которых (по причине, описанной ранее) подходит только 1/4.

Дальше из условия b1(1 + q) = 1,25