1) Производная функции f(x)=4x-sinx+1 равна f'(x) = 4 - cos(x). Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны: f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1 f'(x) = 4 - 1 = 3 Тогда уравнение касательной: Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна: f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2. Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе. Для этого находим критические точки: x^2 - 2x - 8 = 0 Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4; x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2. Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.
a) 25 - 36p²c² = 5² - (6pc)² = (5 - 6pc)(5+6pc)
б) 100a⁴b²c² - 121 = (10a²bc)² - 11² = (10a²bc - 11)(10a²bc +11)
2)
а) (3x+1)² - (4x+3)² = (3x+1 -(4x+3))(3x+1+4x+3) =
= (3x+ 1 - 4x - 3)(7x + 4) = (-x - 2)(7x+4) =
= -(x+2)(7x+4)
б) (а+b+c)² - (a -b -c)² = (a+b+c -(a-b-c) ) * (a+b+c +a-b-c) =
= (a+b+c -a+b+c) * 2a = (2b + 2c) * 2a = 2(b+c) * 2a =
= 4a(b+c)
3)
a) x²ⁿ - 9 = (xⁿ)² - 3² = (xⁿ - 3)(xⁿ + 3)
б) k² - a⁴ⁿ = k² - (a²ⁿ)² = (k - a²ⁿ)(k + a²ⁿ)
в) х²ⁿ - у²ⁿ = (хⁿ -уⁿ)(хⁿ +уⁿ)
г)81а⁴ⁿ - 1 = (9а²ⁿ)² - 1² = (9а²ⁿ - 1)(9а²ⁿ + 1) =
= ( (3аⁿ)² - 1²)(9а²ⁿ + 1) = (3аⁿ -1)(3аⁿ +1)(9а²ⁿ + 1)
4)
а) 2а(5а + 10) + (2а - 8)(3а+2) =
= 10а² + 20а + 6а² + 4а - 24а - 16 =
= 16а² - 16 = 16(а² - 1) =
= 16(а-1)(а+1)
б)(3х + 5)(4х - 5) - 2х(2,5 + 1,5х) =
= 12х² - 15х + 20х - 25 - 5х - 3х² =
= 9х² - 25 = (3x)² - 5² =
= (3x - 5)(3x+5)
Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны:
f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1
f'(x) = 4 - 1 = 3
Тогда уравнение касательной:
Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна:
f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2.
Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе.
Для этого находим критические точки:
x^2 - 2x - 8 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4;
x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2.
Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.