Тут видимо имеются ввиду натуральные m. Достаточно доказать что m³+3m²+5m кратно 3. Тогда и сумма этого выражения и тройки будет кратна 3. Применим метод мат.индукции: Для m=1 m³+3m²+5m кратно 3. Докажем, что если выражение кратно 3 для какого то натурального k, то и для k+1 оно тоже будет кратно 3. В самом деле: (k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)=(k+1)[(k+1)²+3(k+1)+5]=(k+1)(k²+5k+9)=k³+5k²+9k+k²+5k+9=k³+3k²+5k+3k²+9k+9=(k³+3k²+5k)+3(k²+3k+3) Первая скобка делится на 3 по предположению, со второй все ясно, значит их сумма делится на 3. Из доказанного утверждения и того факта, что при m=1 выражение кратно 3 следует что оно кратно 3 для всех натуральных m. Значит и m³+3m²+5m+3 кратно 3. Что и требовалось.
Пусть скорость поезда пассажирского х км/ч, а товарного у км/ч. Тогда по расписанию пассажирский поезд проходит расстояние 480 км за 480/х часов, а товарный за 480/у часов. По условию 480/у-480/х=2 ч. Из-за ремонта путей скорость пассажирского поезда стала (х-8) км/ч, значит время стало 480/(х-8) часов. Скорость товарного поезда (х-12) км/ч, а время 480/(х-12) часов, причем по условию 480/(у-12)-480/(х-8)=3 ч 20 мин или 3 1/3 ч. Составим и решим систему уравнений: 480/у-480/х=2 480(1/(у-12)-1/(х-8))=3 1/3
Применим метод мат.индукции:
Для m=1 m³+3m²+5m кратно 3. Докажем, что если выражение кратно 3 для какого то натурального k, то и для k+1 оно тоже будет кратно 3. В самом деле:
(k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)=(k+1)[(k+1)²+3(k+1)+5]=(k+1)(k²+5k+9)=k³+5k²+9k+k²+5k+9=k³+3k²+5k+3k²+9k+9=(k³+3k²+5k)+3(k²+3k+3)
Первая скобка делится на 3 по предположению, со второй все ясно, значит их сумма делится на 3.
Из доказанного утверждения и того факта, что при m=1 выражение кратно 3 следует что оно кратно 3 для всех натуральных m. Значит и m³+3m²+5m+3 кратно 3. Что и требовалось.
Тогда по расписанию пассажирский поезд проходит расстояние 480 км за 480/х часов, а товарный за 480/у часов. По условию 480/у-480/х=2 ч.
Из-за ремонта путей скорость пассажирского поезда стала (х-8) км/ч, значит время стало 480/(х-8) часов. Скорость товарного поезда (х-12) км/ч, а время 480/(х-12) часов, причем по условию 480/(у-12)-480/(х-8)=3 ч 20 мин или 3 1/3 ч.
Составим и решим систему уравнений:
480/у-480/х=2
480(1/(у-12)-1/(х-8))=3 1/3
240(х-у)=ху
480(х-8-у+12)/(у-12)(х-8))=10/3
240(х-у)=ху
144(х-у+4)=(у-12)(х-8)
240(х-у)=ху
144х-144у+576=xy-12x-8y+96
240х-240у=ху
156x-136у+480=ху
240х-240у=ху
240х-240у=156x-136у+480
240х-240у=ху
84х-104у=480
х=(480-104у)/84
240х-240у=ху
х=(120-26у)/21
240(120-26у)/21-240у=(120-26у)/21*у
х=(120+26у)/21
240(120+26у)/21-240у=(120+26у)/21*у
28800+6240у-5040у=120у+26у²
28800+1200у=26у²+120у
13у²-540у-14400=0
D=540²+4*13*14400=291600+748800=1020²
у₁=(540+1020)/26=60 км/ч скорость товарного поезда
у₂=(540-1020)/26 < 0
х=(120+60*26)/21=80 км/ч скорость пассажирского поезда
ответ скорость пассажирского поезда 80 км/ч, скорость товарного поезда 60 км/ч