5. натуральное число n таково, что число 2n имеет 28 натуральных делителей, а число 3n имеет 30 натуральных делителей.
а) пример такого числа n.
б) сколько натуральных делителей может иметь число 6n ?

Нельзя допустить деление на нуль, следовательно x≠0. Отсюда область определения:


График  получается с растягивания графика (обратная пропорциональность) вдоль оси у в 6 раз. Это означает, что у данной функции, многие свойства такие же как и у обратной пропорциональности.
Мы знаем что график обратной пропорциональности называется гиперболой. Следовательно,  график  тоже является гиперболой.

Область значений:


Так как функция  принимает отрицательные значения на луче   то и   принимает отрицательные значения на луче  

Функция нечётна, так как:


Таблица первых значений и сам график во вложении.

интеграл буду писать S

сtg = cos / sin

csc = 1/ sin

ctg^2 = csc^2 - 1

S x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + c

S C dx = Cx + C1

S csc²(x) dx = - ctg (x) + C

S ctg^4(x/5) dx =

= (замена u=x/5 dx=5du) =

= 5 S ctg^4(u) du = 5 S ctg^2(u)*ctg^2(u) du = 5 S ctg^2(u)*(csc^2(u) - 1)du = 5 S (ctg^2(u)csc^2(u) - ctg^2(u)) du = 5 S ctg^2(u)*csc^2(u) du - 5 S ctg^2(u) du =  (1)

получили разницу двух интегралов

решаем второй S ctg^2(u) du = S (csc^2(u) - 1) du = S csc^2(u) du - S du = (два табличных) = -ctg(u) - u + C

решаем первый S ctg^2(u)*csc^2(u) du = { замена v = ctq(u)  dv = - 1/csc^2(u) } = - S v^2 dv = -v^3/3 = - ctg^3(u)/3 + C

(1) итак

- 5ctg^3(u)/3 - 5*(-сtg(u) - u)  + C = { делаем обратную замену u = x/5} = 5*( x/5 + ctg(x/5) - ctg^3(x/5)/3) + C

понятно и нравится ставь лайк и лучший