4. Сумма первых трех элементов убывающей бесконечной геометрической прогрессии с положительными элементами равна 27. Если сумма прогрессий равна 24, найдите кратность.
Квадратное уравнение может иметь один или два корня. Значит, из трёх чисел можно составить шесть приведённых (см. об этом ниже) уравнений: с корнями (2), (5), (9), (2; 5), (2; 9), (5; 9).
Составим уравнения с одним корнем — это будут полные квадраты:
Далее составим уравнения с двумя корнями. Используем теорему Виета: коэффициенты приведённого уравнения вычисляются по формулам .
Первое уравнение (2; 5):
Второе уравнение (2; 9):
Третье уравнение (5; 9):
ответ: шёсть приведённых уравнений:
А теперь рассмотрим неприведённые уравнения — в которых коэффициент при не равен единице (и нулю, конечно, поскольку тогда уравнение перестаёт быть квадратным).. Поскольку любое квадратное уравнение можно разложить на множители:
и в этом разложении при любом оно будет иметь те же корни, то таких уравнений можно составить бесконечное количество. Например, если взять уравнение и умножить его на любое число (кроме нуля): — то его корни останутся прежними.
Окончательный ответ: с данными корнями можно создать бесконечное количество неприведённых уравнений.
Периметр прямоугольника равен 64 см , значит полупериметр равен 32 см . Обозначим длину прямоугольника через a , тогда его ширина равна (32 - a) , а значит его площадь равна : a * (32 - a) .
Одну его сторону увеличили на 2 см , она стала равна (a + 2) . Другую сторону уменьшили на 4 см, она стала равна (32 - a - 4) = (28 - a) .
Значит теперь площадь этого прямоугольника равна :
(a + 2)*(28 - a) , что по условию задачи на 4 см² меньше площади исходного прямоугольника. Составим и решим уравнение:
a * (32 - a) = (a + 2)(28 - a)
32a - a² = 28a - a² + 56 - 2a
32a - a² - 26a = 56
6a = 56
a= 9 1/3 см - длина исходного прямоугольника
32 - 9 1/3 = 22 2/3 см - ширина исходного прямоугольника
Квадратное уравнение может иметь один или два корня. Значит, из трёх чисел можно составить шесть приведённых (см. об этом ниже) уравнений: с корнями (2), (5), (9), (2; 5), (2; 9), (5; 9).
Составим уравнения с одним корнем — это будут полные квадраты:
Далее составим уравнения с двумя корнями. Используем теорему Виета: коэффициенты приведённого уравнения
вычисляются по формулам
.
Первое уравнение (2; 5):
Второе уравнение (2; 9):
Третье уравнение (5; 9):
ответ: шёсть приведённых уравнений:
А теперь рассмотрим неприведённые уравнения — в которых коэффициент при
не равен единице (и нулю, конечно, поскольку тогда уравнение перестаёт быть квадратным).. Поскольку любое квадратное уравнение
можно разложить на множители:
и в этом разложении при любом
оно будет иметь те же корни, то таких уравнений можно составить бесконечное количество. Например, если взять уравнение
и умножить его на любое число (кроме нуля):
— то его корни останутся прежними.
Окончательный ответ: с данными корнями можно создать бесконечное количество неприведённых уравнений.
Периметр прямоугольника равен 64 см , значит полупериметр равен 32 см . Обозначим длину прямоугольника через a , тогда его ширина равна (32 - a) , а значит его площадь равна : a * (32 - a) .
Одну его сторону увеличили на 2 см , она стала равна (a + 2) . Другую сторону уменьшили на 4 см, она стала равна (32 - a - 4) = (28 - a) .
Значит теперь площадь этого прямоугольника равна :
(a + 2)*(28 - a) , что по условию задачи на 4 см² меньше площади исходного прямоугольника. Составим и решим уравнение:
a * (32 - a) = (a + 2)(28 - a)
32a - a² = 28a - a² + 56 - 2a
32a - a² - 26a = 56
6a = 56
a= 9 1/3 см - длина исходного прямоугольника
32 - 9 1/3 = 22 2/3 см - ширина исходного прямоугольника