Достаточно показать, что выражение в числителе 6ⁿ + 20n + 24 при любом натуральном n кратно 25. Тогда дробь есть целое число. Докажем индукцией по n. При n = 1 выражение 6ⁿ + 20n + 24 = 50 = 2*25. Пусть это выражение кратно 25 при произвольном n. Покажем, что тогда и выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25. 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 = 6*6ⁿ + 20n +20 + 24 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5*6ⁿ + 20 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5(6ⁿ + 4). Число 6ⁿ + 4 оканчивается нулём, поэтому кратно 5, значит выражение 5(6ⁿ + 4) = 25k кратно 25. Член суммы 6ⁿ + 20n + 24 кратен 25 по предположению индукции, значит всё выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25, отсюда следует кратность 25 выражения 6ⁿ + 20n + 24, а значит дробь 2021*(6ⁿ + 20n + 24)/25 есть целое число.
Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.
2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.
Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.
3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.
4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:
S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.
Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:
S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.
5. Из полученных уравнений находим:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.
Исключая переменную t, получим:
nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.
Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:
n=33⋅k,
m=49⋅k,
где k — произвольное натуральное число.
6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:
t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,
где параметр k соответствует номеру встречи.
7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.
Достаточно показать, что выражение в числителе 6ⁿ + 20n + 24 при любом натуральном n кратно 25. Тогда дробь есть целое число. Докажем индукцией по n. При n = 1 выражение 6ⁿ + 20n + 24 = 50 = 2*25. Пусть это выражение кратно 25 при произвольном n. Покажем, что тогда и выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25. 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 = 6*6ⁿ + 20n +20 + 24 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5*6ⁿ + 20 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5(6ⁿ + 4). Число 6ⁿ + 4 оканчивается нулём, поэтому кратно 5, значит выражение 5(6ⁿ + 4) = 25k кратно 25. Член суммы 6ⁿ + 20n + 24 кратен 25 по предположению индукции, значит всё выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25, отсюда следует кратность 25 выражения 6ⁿ + 20n + 24, а значит дробь 2021*(6ⁿ + 20n + 24)/25 есть целое число.
ответ: 84 мин.
Объяснение:
Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.
2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.
Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.
3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.
4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:
S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.
Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:
S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.
5. Из полученных уравнений находим:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.
Исключая переменную t, получим:
nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.
Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:
n=33⋅k,
m=49⋅k,
где k — произвольное натуральное число.
6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:
t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,
где параметр k соответствует номеру встречи.
7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.