1. Докажите, что нет рационального числа, квадрат которого равен: 1) 3; 2) 5; 3) 6; 4) 2,1.
2. Докажите, что нет рационального числа, куб которого равен:
1) 2; 2) 3; 3) 6; 4) 2,1.
3. Докажите, что если а — целое число, не являющееся квадратом целого
числа, то оно не является квадратом никакого рационального числа.
4. Докажите, что если а — целое число, не являющееся кубом целого
числа, то оно не является кубом никакого рационального числа.
5. Пусть a, b, c — целые числа. При каком условии уравнение ах2 +
+ bx + c = 0 имеет рациональные корни? Докажите необходимость и
достаточность этого условия.
6. Является ли одействительным числом?
7. Найдите для следующих чисел их целые и дробные части, приближе-
ния по недостатку и по избытку с точностью до 0,0001:
1) п = 3,1415926...;
3) 0,5189773...;
4) -0,5189773...; 5) 0,0063754; 6) - 0,0063754.
2) -п;
8. Вычислите с микрокалькулятора приближенные значения
следующих чисел, найдите их целые и дробные части и приближе-
ния по недостатку и по избытку с точностью до 0,0001:
1) √2 + √3; 2) √2 – √3; 3) √(2 + √7,4); 4) √(√7,4 – 2);
5)√( 3 + √2) √(2 + √3); 6) √(3 + √2) : π
9. Докажите, что если £ > 0, ak — натуральное число, то при достаточ-
k
но большом значении выполняется неравенство
КЕ.
101
10. Постройте прямоугольники со сторонами 1 и 2 и со сторонами 3 и
2,1. Найдите с микрокалькулятора приближенное значе-
ние площади и периметра прямоугольника, стороны которого равны
диагоналям этих прямоугольников.
11. Докажите, что если для положительной бесконечной десятичной дро-
би все приближения по недостатку, начиная с n-го, совпадают, то
все цифры дроби, начиная с некоторой (с какой?), — нули.
12. Существует ли наименьшее число, большее 0,52?
13. Каково наибольшее действительное число, меньшее 0,9, в десятич-
ную запись которого не входит цифра 9?
14. Каково наименьшее действительное число, которое больше, чем 7,6,
причем в его десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2?
ответ: 9,62 км/час
Объяснение:
Решение.
Пусть скорость теплохода равна х км/час. Тогда
скорость по течению равна х+3 км/час,
а против течения -- х-3 км/час.
Время на движение по течению затрачено
S=vt; t=10/(x+3) часа
Время на движение против течения затрачено
t=8/(x-3) часа.
Общее время равно 2 часа.
Составим уравнение:
10/(х+3) + 8/(х-3)=2;
10(х-3) + 8(х+3)=2(х+3)(x-3);
10x-30 + 8x+24 = 2x²-18;
2x² - 18x - 12=0;
x² - 9x- 6 =0;
x1=9.62 км/час - скорость теплохода в стоячей воде
х2 = -0,623 - не соответствует условию
9,90,99
Объяснение:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Есть правило: Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода.
В первом примере
1) 0, (3). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (3) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде одна цифра, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки (9).
0, 2(5). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (25) и числом после запятой до периода дроби (2). В периоде одна цифра, а после запятой до периода одна, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и одного нуля (90).
7,(36)В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (36) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде две цифры, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из двух девяток (99).