1. Доказать, что при любом натуральном n число n^3+3n^2+5n делится на 3.
2. Доказать, что при любом натуральном n число 2n^3+3n^2+7n делится на 6.
3. Доказать, что при любом натуральном n число 10^n+18n-28 делится на 27.
4.Доказать, что при любом натуральном n число 2^2n-1 делится на 3
5. Доказать, что при любом натуральном n число 5^n+3+11^3n+1 делится на 17.
В решении.
Объяснение:
1) 5а³ - 125аb² = 5a(a² - 25b²) = 5a(a - 5)(a + 5);
2) a² - b² - 5a + 5b =
= (a² - b²) - (5a - 5b) =
= (a - b)(a + b) - 5(a - b) =
= (a - b)(a + b - 5);
3) а²- 2ав + в² - ас + вс =
= (а²- 2ав + в²) - (ас - вс) =
= (a - b)² - c(a - b) =
= (a - b)(a - b - c);
4) 25a² + 70ab + 49b² =
= (5a + 7b)² =
= (5a + 7b)(5a + 7b);
5) a² - 2ab + b² - 3a + 3b =
= (a² - 2ab + b²) - (3a - 3b) =
= (a - b)² - 3(a - b) =
= (a - b)(a - b - 3);
6) 63ab³ - 7a²b =
= 7ab(9b² - a);
7) (b - c)(b + c) - b(b + c) =
= (b + c)(b - c - b) =
= -c(b + c);
8) m² + 6mn + 9n² - m - 3n =
= (m² + 6mn + 9n²) - (m + 3n) =
= (m + 3n)² - (m + 3n) =
= (m + 3n)(m + 3n - 1);
9) a² - 9b² + a - 3b =
= (a² - 9b²) + (a - 3b) =
= (a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b) =
= (a - 3b)(a + 3b + 1).
1-ое тело имеет скорость v1 (м/мин), 2-ое тело v2 < v1 (м/мин).
В момент встречи оба тела вместе проехали весь круг, за время
t = x/(v1+v2) (мин)
При этом 1-ое тело на 100 м больше, чем 2-ое тело.
v1*t = v2*t + 100
v1*x/(v1+v2) = v2*x/(v1+v2) + 100
Умножаем все на (v1+v2)
v1*x = v2*x + 100(v1+v2)
x(v1-v2) = 100(v1+v2)
x = 100(v1+v2)/(v1-v2)
1-ое тело вернулось в точку А через 9 мин, то есть за 9 мин оно расстояние, которое до встречи ое тело за t мин.
v1*9 = v2*t = v2*x/(v1+v2)
9v1(v1+v2) = v2*x
А 2-ое тело вернулось в А через 16 мин, то есть за 16 мин оно расстояние, которое перед этим ое тело за t мин.
v2*16 = v1*t = v1*x/(v1+v2)
16v2(v1+v2) = v1*x
Получили систему из 3 уравнений с 3 неизвестными.
{ x = 100(v1+v2)/(v1-v2)
{ 9v1(v1+v2) = v2*x
{ 16v2(v1+v2) = v1*x
Подставляем 1 уравнение во 2 и 3 уравнения
{ 9v1(v1+v2) = v2*100(v1+v2)/(v1-v2)
{ 16v2(v1+v2) = v1*100(v1+v2)/(v1-v2)
Сокращаем (v1+v2)
{ 9v1 = 100v2/(v1-v2)
{ 16v2 = 100v1/(v1-v2)
Получаем
{ 0,09v1 = v2/(v1-v2)
{ 0,16v2 = v1/(v1-v2)
Вычитаем из 2 уравнения 1 уравнение
0,16v2 - 0,09v1 = v1/(v1-v2) - v2/(v1-v2) = (v1-v2)/(v1-v2) = 1
v2 = (0,09v1+1)/0,16
v1-v2 = v1 - (0,09v1+1)/0,16 = (0,16v1-0,09v1-1)/0,16 = (0,07v1-1)/0,16
Подставляем в любое уравнение
0,09v1 = (0,09v1+1)/0,16 : (0,07v1-1)/0,16 = (0,09v1+1)/(0,07v1-1)
0,09v1(0,07v1-1) = (0,09v1+1)
0,0063v1^2 - 0,09v1 - 0,09v1 - 1 = 0
Умножаем все на 1000
6,3v1^2 - 180v1 - 1000 = 0
D/4 = (b/2)^2 - ac = 90^2 - 6,3(-1000) = 8100 + 6300 = 14400 = 120^2
v1 = (-b/2 + √D)/a = (90 + 120)/6,3 = 210/6,3 = 2100/63 = 100/3 м/мин
v2 = (0,09v1+1)/0,16 = (9/3 + 1)/0,16 = 4/0.16 = 400/16 = 25 м/мин
v1-v2 = 100/3 - 25 = (100-75)/3 = 25/3
v1+v2 = 100/3 + 25 = (100+75)/3 = 175/3
Длина трассы
x = 100(v1+v2)/(v1-v2) = 100*175/3 : 25/3 = 100*175/25 = 700 м
ответ: 700 м