Воротился старик ко старухе, у старухи новое корыто. какое из двух последних слов командует, а какое подчиняет? с какого слова начнёшь? как докажешь выбор букв в окончаниях?

Командир - корыто, подчиняет - новое. Начинать с существительного. Корыто среднего рода, поэтому у подчиненного прилагательного окончание -ое.