Тремя или троими? есть ли слово троими?

Трое - собирательное числительное. Троими - его падежная форма.

И.п. трое  

Р.п. троих  

Д.п. троим  

В.п. трое (неодуш.), троих (одуш.)  

Т.п. троими  

П.п. троих

Отец гордился троими сыновьями. (троими - собират. числительное для лиц мужского рода). Отец гордился тремя сыновьями. (тремя - колич. числительное тоже допускается)

Три - количественное числительное. Тремя - его падежная форма.

И.п. три  

Р.п. трёх  

Д.п. трём  

В.п. три (неодуш.), трёх (одуш.)    

Т.п. тремя  

П.п. трёх

Отец попрощался с тремя дочерьми и отправился в дальний путь. (собирательные числительные для лиц женского рода НЕ используются).