чение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.
пример 2. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение. чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:
.
следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.
ответ: -5.
из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.
пример 3. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.
решение. .
ответ. .
пример 4. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение..
встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область определения или область допустимых значений выражения (одз). это означает – найти все допустимые значения переменных. в нашем примере – это все значения, кроме . область определения удобно изображать на числовой оси.
для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:
рис. 1
таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.
ответ..
пример 5. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение..
изобразим полученное решение на числовой оси:
рис. 2
ответ..
графическое представление области допустимых (одз) и недопустимых значений переменных в дробях
пример 6. установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .
решение.. мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.
изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
рис. 3. график функции
координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.
ответ. .
случай типа "деление на ноль"
в рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .
пример 7. установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .
решение..
получается, что дробь не имеет смысла при . но можно возразить, что это не так, потому что: .
может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . однако, если подставить в исходное выражение, то получим – не имеет смысла.
ответ..
чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
(дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю) . но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. значит, данное уравнение имеет только один корень .
правило нахождения одз
таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахожденияодз дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.
мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби.
рассмотрим теперь еще несколько , которые могут возникнуть при работе с дробями.
разные и выводы
пример 8. докажите, что при любых значениях переменной дробь .
доказательство. числитель – число положительное. . в итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.
доказано.
пример 9. известно, что , найти .
решение. поделим дробь почленно . сокращать на мы имеем право, с учетом того, что является недопустимым значением переменной для данной дроби.
ответ..
на данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. на следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби.
У каждого человека есть именины. У Дедушки Мороза они тоже есть. К сожалению, я не знаю какого они числа, но думаю, что зимой. Все знают, что у Дедушки много друзей, поэтому к своим именинам он должен подготовиться основательно. Нужно приготовить угощение и накрыть праздничный стол. Скорее всего, на именинах скучно не будет, потому что многочисленные друзья Дедушки приготовят ему много сюрпризов и поздравлений. С Днем именин, Дед Мороз! Желаю тебе трескучих морозов в твоем волшебном лесу, прекрасного настроения и чтобы в твоем волшебном мешке никогда не заканчивались подарки детям. Приноси нам всегда радость и веселье. С Днем именин, Дед Мороз! Пусть в твоем волшебном ледяном тереме всегда будет солнечно и морозно. Пускай под твоими окнами всегда будут мягкие и пушистые сугробы.С Днем именин добрый сказочный Дед!Счастья, веселья и множества лет!Радуй нас дальше, детей веселиМороз и сугробы с собой приноси! Конечно, я бы хотела приехать к Тебе в гости и побывать в твоем ледяном тереме, познакомиться с Тобой и со Снегурочкой. Больше всего мне хочется погулять в сказочном лесу и подружиться с говорящими зверьками, которые там живут. А еще у меня к тебе Дедушка Мороз много вопросов. Есть ли у тебя снеговики, как написано в книжке “Школа снеговиков”? Правда ли, что если дотронешься до твоего волшебного посоха можно замерзнуть? Очень хочется узнать, что ты делаешь летом. Можешь ли ты растаять на жарком солнце? Наверно, Ты будешь удивлен Дедушка, когда узнаешь, что не только дети верят в Тебя, но и некоторые взрослые. Каждый раз в Новогоднюю Ночь под елкой нахожу подарки не только я, но и мои родители. Ты всегда знаешь, что им подарить. Я знаю Дедушка, что ты получаешь много писем от детей. На каждое письмо нужно написать ответ и отправить письмо обратно. Я думаю, что тебе тяжело справиться с таким количеством писем, поэтому твои многочисленные тоже отвечают на них. С Днем именин, Дед Мороз! Так как на именины принято дарить подарки, то и я хочу сделать тебе подарок. Я обещаю тебе слушаться своих родителей и отлично учиться. Если бы каждый ребенок в нашей стране сделал тебе подарок, тогда все дети перестали лениться и учились на одни пятерки. А если у человека есть желание учиться, то он может выбрать хорошую профессию и людям.
чение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.
пример 2. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение. чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:
.
следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.
ответ: -5.
из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.
рассмотрим несколько аналогичных примеров.
пример 3. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.
решение. .
ответ. .
пример 4. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение..
встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область определения или область допустимых значений выражения (одз). это означает – найти все допустимые значения переменных. в нашем примере – это все значения, кроме . область определения удобно изображать на числовой оси.
для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:
рис. 1
таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.
ответ..
пример 5. установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .
решение..
изобразим полученное решение на числовой оси:
рис. 2
ответ..
графическое представление области допустимых (одз) и недопустимых значений переменных в дробяхпример 6. установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .
решение.. мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.
изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
рис. 3. график функции
координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.
ответ. .
случай типа "деление на ноль"в рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .
пример 7. установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .
решение..
получается, что дробь не имеет смысла при . но можно возразить, что это не так, потому что: .
может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . однако, если подставить в исходное выражение, то получим – не имеет смысла.
ответ..
чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
(дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю) . но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. значит, данное уравнение имеет только один корень .
правило нахождения одзтаким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахожденияодз дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.
мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби.
рассмотрим теперь еще несколько , которые могут возникнуть при работе с дробями.
разные и выводыпример 8. докажите, что при любых значениях переменной дробь .
доказательство. числитель – число положительное. . в итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.
доказано.
пример 9. известно, что , найти .
решение. поделим дробь почленно . сокращать на мы имеем право, с учетом того, что является недопустимым значением переменной для данной дроби.
ответ..
на данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. на следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби.