Напишите , как правильно сказать : ушёл , не заперев дверь, или ушёл , не заперши дверь ? аргументируйте свой ответ .

Это первое:
Не заперев, конечно, "запервши" - нет такого слово.
Ушёл, не заперев дверь.
Т. к. деепричастия отвечают на вопросы Что делая? что сделав?
У них нет суффиксов -ш, -вш
поэто-му пишем так

Думаю вы поняли это и вам это