Через год егэ, и я хочу, чтобы вы составить(либо самые важные темы(программу) по следующим предметам, которые мне понадобятся: • язык••обществознание••и еще: какие книжки/ справочники мне бы повторить? заранее ​

Речевые ошибки есть во всех представленных предложениях
Первое предложение. Правильно - "Главный режиссер считает, что без финансовой поддержки театр существовать не может."
Второе предложение. Правильно - "Чувства, которые чисты и бескорыстны, тоже исчезают."
Третье предложение. Правильно - "Я хотел обратиться к вам еще по поводу того, что сделать, чтобы прекратить информационное ухудшение."
Четвертое предложение. Правильно - "Путники медленно двигались, проклиная трудности дороги."
Пятое предложение. Правильно - "Президент попросил доложить обо всем, что сейчас происходит."

Растопыренную (ед.ч. ж.р.Вин.п) пятерню.
Обслюненной (ед.ч,м.р. Тв.п.) лапой.
Обслюненный (ед.ч.,м,р.)
Заложенный ( ед.ч. м.р) за ухо;
По вывернутому (ед.ч,ср.р.Д.п) уху..
 Но зачем обтянутому (ед.ч. Д.п.)
Заржавленный ( ед.ч, м.р.)колючей проволокой.

К словам обслюненный (лапой), заложенный (за ухо), заржавленный (колючей проволокой) не указан падеж, т.к отсутствует связь между выделенным словом и существительным..
К  слову обтянутому не указан род, т.к. нет существительного, к которому это слово относится.