0,85 см = 0,0085 м0,054 км = 54 м88,3 дм = 8,83 м0,05 мм = 0,00005 м 21,3 дм = 2,13 м8300,5 см = 83,005 м0,48 мм = 0,00048 м8,08 км = 0,00808 м 1 дм 5 см = 0,1 + 0,05 = 0,15 м7 дм 5 см = 0,7 + 0,05 = 0,75 м8 см 4 мм = 0,08 + 0,004 = 0,084 м7 см 3 мм = 0,07 + 0,003 = 0,073 м 117 см 5 мм = 1,17 + 0,005 = 1,175 м80 дм 87 мм = 8 + 0,087 = 8,087 м95 см 2 мм = 0,95 + 0,002 = 0,952 м55 дм 5 мм = 5,5 + 0,005 = 5,505 м 480 км = 480 000 м480 дм = 48 м480 см = 4,8 м480 мм = 0,48 м 3 км = 3000 м3 дм = 0,3 м3 см = 0,03 м3 мм = 0,003 м
В разделе "Определение значений тригонометрических функций любого угла" мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале 0 < х < π/2 .Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале.Составим следующую таблицу значений нашей функции;Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисункеПолученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х.1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π/2. Поэтому на оси хвозьмем отрезок [0 , π/2 ] и разделим его на 8 равных частей.3.Проведем прямые, параллельные оси х, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.4.Точки пересечения соединим плавной линией.Теперь обратимся к интервалу π/2 < х < π. Каждое значение аргумента х из этого интервала можно представить в виде x = π/2 + φгде 0 <φ < π/2 . По формулам приведенияsin ( π/2 + φ) = соsφ = sin ( π/2 — φ).Точки оси х с абциссами π/2 + φ и π/2 — φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π/2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [π/2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π/2] относительно прямой х = π/2.Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,sin (— х) = — sin х,легко построить график этой функции в интервале [— π, 0].Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π. Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х. Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπфункция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает. Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точких= 0.Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)sin x ≈ x.Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05;sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х| sin x | < | x |. (1)Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1, a / AОВ = х.Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2sin х < х.Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0| sin x | < | x |. Наконец, при x = 0| sin x | = | x |.Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 1 Упражнения1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала [ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус, равный 1/2.4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03; в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').
Каждое значение аргумента х из этого интервала можно представить в виде
x = π/2 + φгде 0 <φ < π/2 . По формулам приведенияsin ( π/2 + φ) = соsφ = sin ( π/2 — φ).Точки оси х с абциссами π/2 + φ и π/2 — φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π/2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [π/2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π/2] относительно прямой х = π/2.Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,sin (— х) = — sin х,легко построить график этой функции в интервале [— π, 0].Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π. Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х. Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπфункция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает. Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точких= 0.Как видно из рисунка , в окрестности точки х = 0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных)sin x ≈ x.Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05;sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х| sin x | < | x |. (1)Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a / AОВ = х.Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2sin х < х.Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0| sin x | < | x |. Наконец, при x = 0| sin x | = | x |.Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 1 Упражнения1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1/2.4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').