Задание 1. а) Рассмотрите многогранники и заполните следующую таблицу, в которой В – число

вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника.

Определите для каждой строки значение алгебраической суммы: В - Р + Г.

в) Выведите общие формулы для а) n-угольной пирамиды; б) n-угольной призмы.

Название многогранника В Р Г

Треугольная пирамида 4 6 4

Четырехугольная пирамида 5 8 5

Треугольная призма 6 9 5

Четырехугольная призма 8 12 6

n-угольная пирамида n+1 2n n+1

n-угольная призма 2n 3n n+2​

1995 | 3                                       1996 | 2

665 | 5                                        998 | 2

133 | 7                                          499 | 499

19 | 19                                          1996 = 2² · 499

1

1995 = 3 · 5 · 7 · 19

Числа 1995 и 1996 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.

ответ: 1995/1996 - несократимая дробь.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1996 = 2² · 499

1997 - простое число (имеет только два делителя 1 и 1997)

ответ: 1996/1997 - несократимая дробь.

Для начала докажем то, что называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

Рассмотрим два набора чисел: и .

Тогда выполнено неравенство: ;

Это неравенство можно доказывать по-разному. Заметим, что скалярное произведение векторов и есть , где - координаты составляющих вектора. Поскольку скалярное произведение векторов всегда не превосходит произведения модулей векторов (так как ), то отсюда немедленно следует неравенство (ведь сумма квадратов в рассматриваемом неравенстве - это квадрат модуля вектора).

__________________________

Сделаем замену: ; Получим неравенство:

Полагая и , получим: