ЗА ГЕОМЕТРИЮ Прямые в пространстве
1. Точки А, В, С и Р не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые ВС и АР скрещиваются.
2. Нарисуйте куб АВСDA1B1C1D1. 1. Выделите в нем ребро ВВ1 и назовите все ребра куба: а) параллельные ему; б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выделите диагональ AD1 грани ADD1A1 куба и назовите диагонали других граней: а) параллельные AD1; б) пересекающие ее; в) скрещивающиеся с ней.
3. Докажите, что середины ребер АР, СР, ВС и АВ тетраэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки.
4. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости β, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость β соответственно в точках A1, B1, C1, D1, O1, M1. Найдите ММ1, ОО1 и DD1, если АА1 = 17, СС1 = 5, ВВ1 = 15.
5. Дан тетраэдр DABC. Точка К – середина АВ; точка N – середина ВС; точка Р – середина CD; точка М – центроид треугольника АВС. В каком отношении ( считая от точки D) прямая КР делит отрезок DM?
Даны 3 вершины: A(1,2,3) B(3,1,2) C(2,3,1).
Координаты точки Д(0; у: 0).
Найдём координаты нормального вектора плоскости, проходящей через заданные точки как векторное произведение.
Векторы: АВ = (2; -1; -1), АС = (1; 1; -2).
i j k| i j
2 -1 -1| 2 -1
1 1 -2| 1 1 = 2i -j + 2k + 4j + +1i + 1k = 3i + 3j + 3k = (3; 3; 3).
Находим вектор АД = (-2; (у - 2); -3).
Определяем смешанное произведение (АВхАС)*АД.
(АВхАС) = (3; 3; 3).
АД = (-2; (у - 2); -3).
(АВхАС)*АД = -6 + 3(у - 2) -9 = 3у - 21.
Переходим к уравнению объёма пирамиды: V = (1/6)*(АВхАС)*АД/
Подставим значения объёма V = 3 и произведения.
3 = (1/6)*(3у - 21),
18 = 3у - 21,
3у = 39,
у = 39/3 = 13.
ответ: Д(0; 13; 0).