Дана функция f(x)=x^4-3x^3+2x^2+x+4. Первая производная функции равна: y' =4x³ - 9x² + 4x + 1. Вторая производная равна: y'' = 12x² - 18x + 4. Приравниваем её нулю: 12x² - 18x + 4 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-18)^2-4*12*4=324-4*12*4=324-48*4=324-192=132;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=√132-(-18))/(2*12)=(√132+18)/(2*12) = = (√132+18)/24=√132/24+18/24=2root132/24+0.75 ≈ 1,228714;x_2=(-√132-(-18))/(2*12)=(-√132+18)/(2*12)=(-√132+18)/24= = -√132/24+18/24=-√132/24+0.75 ≈ 0,2712864. Получили 2 точки перегиба графика функции: х = 1,228714 и х = 0,2712864, и 3 промежутка выпуклости графика. Находим знаки второй производной на найденных промежутках. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый. x = 0 0,27129 1 1,22871 2 y'' = 4 0 -2 0 16. Как видим, график на двух промежутках вогнутый: (-∞; ((3/4)-(11/3)^1/2)/4)) и ((3/4)+(11/3)^1/2)/4). На промежутке (((3/4)+(11/3)^1/2)/4); +∞) график выпуклый.
Первая производная функции равна:
y' =4x³ - 9x² + 4x + 1.
Вторая производная равна:
y'' = 12x² - 18x + 4.
Приравниваем её нулю:
12x² - 18x + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-18)^2-4*12*4=324-4*12*4=324-48*4=324-192=132;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=√132-(-18))/(2*12)=(√132+18)/(2*12) = = (√132+18)/24=√132/24+18/24=2root132/24+0.75 ≈ 1,228714;x_2=(-√132-(-18))/(2*12)=(-√132+18)/(2*12)=(-√132+18)/24=
= -√132/24+18/24=-√132/24+0.75 ≈ 0,2712864.
Получили 2 точки перегиба графика функции:
х = 1,228714 и х = 0,2712864, и 3 промежутка выпуклости графика.
Находим знаки второй производной на найденных промежутках.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x = 0 0,27129 1 1,22871 2
y'' = 4 0 -2 0 16.
Как видим, график на двух промежутках вогнутый: (-∞; ((3/4)-(11/3)^1/2)/4)) и ((3/4)+(11/3)^1/2)/4).
На промежутке (((3/4)+(11/3)^1/2)/4); +∞) график выпуклый.
2 7/15 + 3 13/15=5 20/15= 6 5/15= 6 1/3
4 8/13 + 2 6/13=6 14/13= 7 1/13
5 5/12 + 1 11/12=6 16/12= 7 4/12= 7 1/3
6 2/5 - 4 7/9= 32/5 - 43/9= 288/45 - 215/45=73/45= 1 28/45
10 3/4 - 7 = 10 3/4 - 6 4/4= 43/4 - 28/4=15/4=3 3/4=3,75
8 9/13 + 7 12/13= 15 21/13= 16 8/13
5 3/5 - 2 8/11= 75/5 - 30/11= 825/55 - 150/55=675/55= 12 15/55=12 3/11
4 5/11 - 2 8/11= 49/11 - 30/11= 19/11= 1 8/11
2 18/25 + 7 8/25= 9 26/25= 10 1/25= 10,04
8 3/17 - 4 11/17= 139/17 - 79/17=60/17= 3 9/17
6 8/23 - 12/23=146/23 - 12/23= 134/23= 5 19/23
10 3/5 + 6 4/5=16 7/5= 17 2/5= 17,4
5 7/9 + 3 4/9= 8 11/9= 9 2/9
8 3/9 + 1 7/9=9 10/9= 10 1/9
12 7/8 + 3 7/8= 15 14/8= 16 6/8= 16 3/4= 16,75
10 3/7 - 4 5/7=9 10/7 - 4 5/7= 5 5/7