Пусть номер Незнайки записывается как abcdefg, где a,b,...,g — цифры от 1 до 9, не обязательно различные. Всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр.
Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.
Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.
Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad+...+ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.
Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.
Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.
Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.
Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad+...+ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.
Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.
1 день: ((х/3) - 2)
осталось пройти: х - ((х/3) - 2) = х - (х/3) + 2 = (2х/3) + 2
половина оставшегося пути: (х/3) + 1
2 день: (х/3) + 1 - 3 = ((х/3) - 2)
после двух дней осталось пройти: х - ((х/3) - 2) - ((х/3) - 2) =
= х - (х/3) + 2 - (х/3) + 2 = ((х/3) + 4)
3 день: (8/9)*((х/3) + 4) + 6 = (8х/27) + (32/9) + 6 = (8х/27) + 9⁵/₉
((х/3) - 2) + ((х/3) - 2) + ((8х/27) + 9⁵/₉) = х
(х/3) + (х/3) + (8х/27) + 5⁵/₉ = х
(3х/3) - (2х/3) - (8х/27) = 5⁵/₉
(9х/27) - (8х/27) = 5⁵/₉
х/27 = 5⁵/₉
х = 27*50/9 = 150 (км)
ПРОВЕРКА:
треть всего пути = 50 км
1 день: 50-2 = 48 км
остаток после первого дня: 102 км
половина оставшегося пути = 51 км
2 день: 51-3 = 48 км
остаток после второго дня: 150-48-48 = 54 км
8/9 от 54 км = 8*54/9 = 8*6 = 48 км
3 день: 48+6 = 54 км
48 + 48 + 54 = 150