Ясно, что дробь является сократимой, если у p и q есть общий простой делитель. Вероятность того, что произвольное число делится на простое число есть очевидно , а что не делится . Также ясно, что делимость на разные простые числа - события независимые. Из вышесказанного следует, что вероятность того, что дробь не сокращается на простое число
Вспомним формулу суммы геометрической прогрессии:
Отсюда
Сделаем такое с каждой скобкой в нашем выражении для :
Тогда
Легко увидеть, что это равно
т. е. сумме ряда обратных квадратов. Его значение можно легко получить например разложив в ряд Фурье и посмотрев значение в точке . Итак, сумма этого ряда есть
Пошаговое объяснение:
Ясно, что дробь является сократимой, если у p и q есть общий простой делитель. Вероятность того, что произвольное число делится на простое число
есть очевидно 
, а что не делится 
. Также ясно, что делимость на разные простые числа - события независимые. Из вышесказанного следует, что вероятность того, что дробь не сокращается на простое число
Вспомним формулу суммы геометрической прогрессии:
Отсюда
Сделаем такое с каждой скобкой в нашем выражении для
:
Тогда
Легко увидеть, что это равно
т. е. сумме ряда обратных квадратов. Его значение можно легко получить например разложив
в ряд Фурье и посмотрев значение в точке 
. Итак, сумма этого ряда есть
Откуда получаем ответ.
Начиная с 1-й страницы, для нумерации страниц напечатали 432 цифры.
Пошаговое объяснение:
Примечание: искренне надеюсь, что вы имели ввиду, сколько цифр напечатали для нумерации всех страниц за понимание!
Справка:
Однозначные числа - 9
Двузначные числа - 90
Узнаем количество цифр в однозначных числах:
1) 9 * 1 = 9 ( ц. ) - в однозначных числах.
Узнаем количество оставшихся страниц:
2) 180 - 9 = 171 ( стр. ) - осталось.
Узнаем количество цифр в двузначных числах:
3) 90 * 2 = 180 ( ц. ) - в двузначных числах.
Узнаем количество оставшихся страниц:
4) 171 - 90 = 81 ( стр. ) - осталось.
Узнаем количество цифр в трёхзначных числах:
5) 81 * 3 = 243 ( ц. ) - в трёхзначных числах.
Узнаем общее количество цифр:
6) 9 + 180 + 243 = 432 ( ц. ) - всего.