Впрямоуг мркн диагонали пересикаются в точке оа​

Значком «^» здесь обозначается, что число возведено в степень.
а^2 - это а²
а - основание, 3 - показатель степени
Показатель степени при числе означает умножение числа само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
а^4 = а•а•а•а
При умножении чисел, возведённых в степень, показатели степени складываются.
а^2 • а^6 = а^(2+6) = а^8
Отрицательный показатель степени при числе означает, что число оказывается в знаменателе.
а^(-1) = 1/а
c^(-5) = 1/(c^5)
Пример: а^5 • а^(-7)=а^(5-7)=а^(-2) =1/(а^2)
При возведении в степень числа, возведенного в степень, показатели степеней умножатся.

1.
а) а • а^(-3) + (1/5)^2 =а^1 • а^(-3) + (1/5)^2 =
= а^(1-3) + 1/25 = а^(-2) + 1/25 = 1/(а^2) + 1/25

б) ((-1/2)^-3)^-2) = (-1/2)^((-3)•(-2) = (-1/2)^6 =
= 1/(2^6) = 1/64 = 0,015625

в) (25/64)^-2 • 2^-6 =
= (64/25)^2 • 2-6 =
= ((2^6)/(5^2))^2 • 2^-6 =
= (2^12)/(5^4) • 2^-6 =((2^12)•(2^-6))/(5^4) =
= ((2^(12-6))/(5^4) = (2^6)/(5^4) =
= 64/625 = 0,1024

2.
7•а^3 • b^-2 •(b/a)^-3 : (a•b^-3)^2 =
= 7•а^3 • b^-2 • b^-3 • a^3 • a^-2 • b^6 =
= 7 • a^(3+3-2) • b^(-2-3+6) = 7a^4 • b = 7ba^4

3.
(((3•a^-1 • b • x^-2 • c^2)/(2•x^-3 • y•c•a^-2))^2)^-1 =
=(3•a^-1 • b • x^-2 • c^2 • 2^-1 • x^3 • y^-1 • c^-1 • a^2)^-2 =
= (3/2 • a^(-1+2) •b• c^(2-1) • x^(-2+3) • y^-1)^-2=
= (3/2 • a • b • c • x • y^-1) ^-2 =
= (2/3)^2 • a^-2 • b^-2 • c^-2 • x^-2 • y^((-1)(-2))=
= 2y^2/((3abcx)^2)

4.
Sn = a1 • (q^n - 1) / (q - 1) - сумма первых n членов геометрической прогрессии
где n - количество членов последовательности,
a1 - 1-ый член последовательности,
а- n-ый член последовательности,
q - знаменатель последовательности.
а1 = -2/3
q = 1/2
Находим сумму первых шести членов геометрической прогрессии:
S6 = (-2/3) • ((1/2)^6 - 1)) / (1/2 - 1) =
= (-2/3) • (1/64 - 1) / ( -1/2) =
= 2•2 • (1/64 - 64/64) / 3 =
= 4 • (-63/64) / 3 = -21/16 сумма первых шести членов заданной геометрической прогрессии.
ответ: -21/16.

5.
2^6 • 3^-4 = 2^6 / (3^4) = 64/81
Значит,
(8/9)^2= 64/81 - первое дробное
число 8/9
((2^3) / (3^2))^2 = 64/81 - второе дробное число (2^3)/(3^2)

Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-1))-2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-2))-2^(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-3))-2^(2^(n-4))+1)*...*7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности , положим n>k>0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*...(2^(2^k)+1)*...*5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и НОД(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . То есть числа взаимно простые. 4)Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и Y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 Используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что X*(2^(2^(k-1))+1)=X*u=2^(3*2^(k-1))+1=A , аналогично Y*(2^(2^(m-1))+1)=Y*v=2^(3*2^(m-1))+1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (A,B)=1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД(X*u,Y*v)=1 и НОД(u,v)=1 значит и НОД(X,Y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.