В тетраэдре ABCD, AD = a, BD =b, CD = c медианы грани ABC пересекаются в точке O. Второй тетраэдр симметричен первому относительно середины отрезка DO. Найдите длину ломаной, по которой пересекаются поверхности этих тетраэдров.

А)очевидно, что случай, когда все числа равны, является решением задачи

Б)предположим, что все числа не равны между собой

тогда возьмем наибольшее из них(оно, очевидно, найдется, иначе, если его нет, то все равны между собой и мы приходим к п.А)

обозначим наибольшее число буквой X 

рассмотрим соседей наибольшего числа - если они оба меньше его, то, очевидно, их среднее арифметическое меньше X - противоречие

но ни один из соседей не может быть больше X, так как мы взяли X наибольшим числом

отсюда получаем, что оба соседа X в точности равны ему самому, следовательно, число, стоящее слева или справа от соседа числа X, так же равно X(т.к. они должно удовлетворять уравнению (X+Y)/2=X (где Y - сосед соседа X))

отсюда получаем, что все числа в круге равны X => равны между собой, что и требовалось доказать 

чтобы найти НОД, нужно разложить числа на простые множители, общие  перемножим

а) НОД ( 13, 14 ) =  1

13 = 13;    14 = 2 * 7

б) НОД ( 17, 18 ) =  1

17 = 17;   18 = 2 * 3 * 3

В) НОД ( 72, 73 ) =  1

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3;  73 = 73

Г) НОД ( 81, 82 ) =  1

81 = 3 * 3 * 3 * 3;   82 = 2 * 41

Д) НОД ( 2002, 2003 ) =  1

2002 = 2 * 7 * 11 * 13:  2003 = 2003

Е) НОД ( 2004, 2005 ) =    1

2004 = 2 * 2 * 3 * 167;  2005 = 5 * 410

ВЫЧИСЛИТЕ

:

А) НОД ( 13, 49 ) =  1

13 = 13;    49 = 7 * 7

Б) НОД ( 72, 11 ) =  1

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3;    11 = 11

В) НОД ( 19, 500 ) =  1

19 = 19:   500 = 2 * 2 *5 * 5 * 5

Г) НОД ( 81, 25 ) =  1

81 = 3 * 3 * 3 * 3:    25 = 5 * 5

Д) НОД ( 20, 49 ) =  1

20 = 2 * 2 * 5;  49 = 7 * 7

Е) НОД ( 24, 35 ) = 1

24 = 2 * 2 * 2 * 3;   35 = 5 * 7

числа взаимно простые, общих множителей нет.