В таблице представлены результаты учащихся за экзамен по математике. Число верно

решенных задач

0

1

2

3

4

5

6

Количество учащихся

3

4

12

15

8

3

5

Сколько учащихся сдавали данный экзамен?                (2б)

5) Радиус окружности равен 4см. Найти диаметр.                     (1б)

6) Диаметр окружности равен 5см. Найти радиус.                     (1б)

7) Каким должен быть угол по величине, если он острый?       (1б)​

ПРИМЕР №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:

1) grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.

z=5x²*y+3xy²

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j

Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)A=13i+11j

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0).

Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.

б) производную в точке А по направлению вектора а.

ПРИМЕР №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2).

z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №4. Дана функция . Найти:

1) gradu в точке A(5; 3; 0);

2) производную в точке А в направлении вектора a=i-2j+k.

Решение.

1. .

Найдем частные производные функции u в точке А.

;;

, .

Тогда  

2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

.

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a0 вектора a.

, где .

Отсюда .

ПРИМЕР №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.

Решение.

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

2 км/ч

Пошаговое объяснение:

Пусть: х- скорость пловца, у- скорость течения

Пловец три участка пути (S1, S2 и S3): 1. от моста против течения S1=(x-y)*0.5 за t1=0.5ч  2. обратно до моста по течению S2=S1 за t2=S1/(x+y)=((x-y)*0.5)/(x+y)  3. от моста до мяча по течению S3=2км t3=S3/(x+y)=2/(x+y)

Все время в пути мяча = 2км/y

Все время в пути:

0,5 + ((x-y)*0.5)/(x+y) + 2/(x+y) = 2/y

(0,5*(x+y) + 0.5*(x-y) + 2)/(x+y)=2/y

упращаем выражение и получаем

(x+2)/(x+y)=2/y

2(x+y)=y(x+2)

2x+2y=xy+2y

2x=xy

y=2

Скорость течения = 2км/ч