В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?
Пошаговое объяснение:
1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.
2) Определим координаты точек .
А(0;0) ,В(
;
) ,С(1;0) ,Н(0,5 ;0) ,D( 
;0) ,К( 
;0) , Е(
3)Найдем координаты направляющих векторов: DB(
;
) , РС( 
;
).
4)Найдем скалярное произведение векторов .
DB *РС=
* 
+ 
*(
) =
⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.
=======================================
Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).
1) Координаты точки Е. ΔКСЕ прямоугольный .
КЕ=СЕ*sin60=
* 
.
КС=СЕ*cos60=
=
, поэтому АК= 1-
→ Е( 
;
) .
2)Координаты точки В. ΔАВН- прямоугольный .
АН=НС=
.
ВН=АВ*sin60=1*
=
3)Ищем координаты точки Р
а)ΔВDC , по т. Менелая
, 
, 
.
б)ΔАВD , по т. Менелая
, 
, 
,
AP=
= 
.
в)ΔАРМ прямоугольный .
РМ=АР*sin60=
* 
= 
.
АМ=АР*cos60=
=
→ P ( 
;
) .