В пирамиде сумма количества всех диагоналей основания - вопрос №21430777 от Джміль 26.01.2022 19:53

Question

Математика: В пирамиде сумма количества всех диагоналей основания и количества граней равна 37. На сколько количество всех рёбер этой пирамиды больше количества всех её вершин ?

Джміль · Answer

Количество всех ребер пирамиды больше количества ее вершин на 8

Пошаговое объяснение:

Пусть в основании пирамиды вершин. Для любой выбранной вершины диагональ нельзя провести в саму себя и две смежные вершины, значит общее количество диагоналей основания равно

$\displaystyle\frac{{k(k - 3)}}{2}.$

Если в основании пирамиды -угольник, у нее боковых граней + 1 грань основания, всего k + 1 грань.

По условию

$\displaystyle\frac{{k(k - 3)}}{2} + k + 1 = 37;{k^2} - 3k + 2k + 2 = 74;{k^2} - k - 72 = 0;left\{ \begin{array}{l}{k_1} + {k_2} = 1,\\{k_1}{k_2} = - 72;\end{array} \right.{k_1} = - 8;\,\,{k_2} = 9.$

Получаем, что задана 9-угольная пирамида.

Тогда количество всех ее ребер равно $2 \cdot 9 = 18,$ а вершин 9 + 1 = 10.

Искомая величина равна $18 - 10 = 8.$