В квадрат, сторона которого равна 44 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т. д. (см. рис.).

Вычисли сумму площадей всех квадратов.

Сумма площадей всех квадратов равна см2

Дополнительные во сторона третьего по порядку квадрата равна см.

2. Площадь наибольшего квадрата равна см2.

3. Знаменатель равен .

4. Выбери, какую из формул надо использовать в решении задачи:

b11−q

(b1+b2)q2

b11−q2

b1(1−qn)1−q

​

Пошаговое объяснение:

Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:

Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд

Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл  численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение:

В данном случае  

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения:

Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена  в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:

Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений?  Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .

ответ: , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?   – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое

вот только про расскольников

В конце ХУII века на Кубани появляются русские поселенцы. Ими были раскольники. бежавшие от феодального гнета под религиозным знаменем старой веры. Кубань привлекает к себе не только старообрядцев, но и обездоленных людей, в том числе и донских казаков. Поселились они в устье реки Лабы. В начале ХVIII в. их, видимо, было уже достаточно много, если сам К. Булавин обращался к ним за при осаде повстанцами Азова. В 1708 г. на Кубань поле подавления восстания Булавина пробирается несколько тысяч повстанцев во главе с булавинским полковником Игнатом Некрасовым. Вскоре в низовья реки Кубани прибыли еще два мятежных атамана Иван Драный и Гаврила Чернец. Тайными путями идут на Кубань те, кто бежал от царской расправы и крепостной неволи. Здесь в прикубанских плавнях - между Копылом (Славянск-на-Кубани) и Темрюком пытались они обрести вольную жизнь, построив три укрепленных годка.
В последней четверти ХУIII в. наступает заключительный этап в длительной борьбе России с Оттоманской Портой за обладание Крымом и Кубанью. На Кубани строятся русские укрепления: Всесвятское (в районе нынешнего Армавира) , Царицынское (на месте нынешней станицы Кавказской) и другие. Некрасовцы, чьи селения были разгромлены войсками царского генерала Бринка, покинули Кубань и ушли Турцию. В январе 1778 г. русскими войсками на Кубани стал командовать А. В. Суворов, начавший строительство Кубанской оборонительной линии по правому берегу р. Кубани.
В конце ХУIII—начале ХIХ вв. начинается военно-казачье освоение опустевшего края. 30 июля 1792 г. последовал царский указ о переселении на Кубань Черноморского войска, костяк которого составили бывшие казаки Запорожской Сечи, разгромленной войсками Екатерины II в 1775 г. Черноморскому войску вменялось в обязанность осваивать и охранять присоединенные земли Тамани и правобережья Кубани В конце лета на Тамань из- за Буга прибыла морем