В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на ду- эли с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя
графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами и дву-
мя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими
маркизами сразился каждый граф?
6
Пошаговое объяснение:
Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами.
Каждый герцог сразился на дуэли с шестью маркизами.
Пусть М - количество всех маркизов, а ГЕ - количество всех герцогов.
Тогда количество дуэлей между маркизами и герцогами равно:
формула 1: М*3 = 6*ГЕ = КГЕМ
ГЕ, М, КГЕМ - целые числа, следовательно:
КГЕМ делится без остатка на 3 и на 6 - т.е. просто на 6
То есть:
формула 2: КГЕМ = 6*Ф
где Ф - какое-то целое число.
Из формулы 1 получаем:
формула 3: Ф = M/2 = ГЕ
Далее:
Каждый граф сразился на дуэли с тремя герцогами.
Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами.
Пусть ГР - количество всех графов, а ГЕ - количество всех герцогов.
Тогда количество дуэлей между графами и герцогами равно:
формула 4: ГР*3 = 2*ГЕ = КГГ
ГЕ, ГР, КГГ - целые числа, следовательно:
КГГ делится без остатка на 2 и на 3.
То есть:
формула 5: КГГ = 2*3*T
где Т - какое-то целое число.
Из формулы 4 получаем:
формула 6: Т = ГЕ/3 = ГР/2
Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = ГЕ):
формула 7: Т = Ф/3
Далее:
Каждый маркиз сразился на дуэли c двумя графами.
Каждый граф сразился на дуэли с Ч маркизами.
формула 8: М*2 = Ч*ГР = КГРМ
Если Ч делится на 2 (четное), то:
формула 9: КГРМ = Ч*У
где У - какое-то целое число.
Из формулы 8 получаем:
формула 10: У = ГР = М*2/Ч
Из формулы 6 получаем (т.к. T = ГР/2):
формула 11: У = Т*2
Из формулы 7 получаем:
формула 12: У = (Ф/3)*2
Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = M/2):
Формула 13: У = М/3
М/3 = М*2/Ч
Ч = 6
Если Ч не делится на 2, то:
формула 14: КГРМ = 2*Ч*У
где У - какое-то целое число.
Из формулы 8 получаем:
формула 15: У = ГР/2 = М/Ч
Из формулы 6 получаем (т.к. T = ГР/2):
формула 16: У = Т
Из формулы 7 получаем:
формула 17: У = (Ф/3)
Из формулы 3 получаем (т.к. Ф = M/2):
формула 18: У = (М/2)/3
(М/2)/3 = М/Ч
Ч = 6
ответ: 6