У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник AСB, у якому АС = ВС, А(2; –5), В(4; 3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (x – 3)2 + y2 + 2y = 16. Визначте площу трикутника АВС.
Тоді радіус кола R= і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС2+ВС2=АВ2.
АС2+AC2=4⋅17.
2AC2=68.
AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х-3)2+у2+2у=16
(х-3)2+у2+2у+1=16+1
(х-3)2+(у+1)2=17.
Тоді радіус кола R= і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС2+ВС2=АВ2.
АС2+AC2=4⋅17.
2AC2=68.
AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17.