Для начала узнаем, что есть алкоголь. алкоголь - горячительный напиток на основе спирта. честно говоря, я не знаю, как спирт действует на человека и его организм, но человек со временем пьянеет. когда человек пьяный, он видит всё замедленным, объекты двоятся, и человеку весело. почему считать? это и есть наркомания. а точнее - алкоголизм. человек без силы воли не может перестать это делать. алкоголь подавляет волю, заставляет человека пить ещё, и ещё, и вот, как-то так. удачи. =3
Шаг 1 (базис индукции).
Пусть n=1. Тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.
Пусть 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.
Шаг 2 (индуктивный переход).
Пусть n=k+1. Тогда 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=
=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=
=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)
Следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.