Точки с (1; -1,5; 3) и d ( -1; 2,5; -3) лежат на сфере. центры сферы принадлежат отрезку сd. а) запишите уравнение сферыб) принадлежат ли сфере точки с координатами (3; -1,5; √7) и (1; 2,5; 3)

ответ:

как известно, каноническим уравнение сферы с центром в точке о(x0; y0; z0) и радиуса r имеет вид (х – x0)2 + (у – у0)2 + (z – z0)2 = r2.

поскольку точки с (1; –1,5; 3) и d (–1; 2,5; –3) лежат на сфере и центр сферы принадлежат отрезку сd, то можно утверждать, что отрезок сd является диаметром сферы и центр сферы находится на середине отрезка сd.

для того, чтобы найти длину диаметра, воспользуемся формулой вычисления расстояния между двумя точками a(xa; ya; za) и b(xb; yb; zb): ав = √[(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2]. имеем сd = √[(–1 – 1)2 + (2,5 – (–1,5))2 + (–3 – 3)2] = √(22 + 42 + 62) = √(4 + 16 + 36) = √(56) = 2√(14). значит, r = сd : 2 = 2√(14) : 2 = √(14).

теперь определим координаты центра сферы о(x0; y0; z0). имеем x0 = (xc + xd) : 2 = (1 + (–1)) : 2 = 0 : 2 = 0; y0 = (yc + yd) : 2 = (–1,5 + 2,5) : 2 = 1 : 2 = 0,5; z0 = (zc + zd) : 2 = (3 + (–3)) : 2 = 0 : 2 = 0.

таким, образом, искомое уравнение имеет вид: (х – 0)2 + (у – 0,5)2 + (z – 0)2 = 14 или х2 + (у – 0,5)2 + z2 = 14.

проверим принадлежность к сфере точек с координатами (3; –1,5; √(7)) и (1; 2,5; 3). имеем 32 + (–1,5 – 0,5)2 + (√(7))2 = 9 + 16 + 7 = 32 ≠ 14, следовательно, точка с координатами (3; –1,5; √(7)) не принадлежит к сфере. аналогично, имеем 12 + (2,5 – 0,5)2 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14, следовательно, точка с координатами (1; 2,5; 3) принадлежит к сфере.

ответы: х2 + (у – 0,5)2 + z2 = 14; точка с координатами (3; –1,5; √(7)) не принадлежит к сфере; точка с координатами (1; 2,5; 3) принадлежит к сфере.