Таня написала на доске число 31, а Тоня написала 44. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 27 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

пусть х-собственная скорость катера,его сокрость по течению х+3,против течения х-3.

так как катер шел по реке,то есть по течению 2 часа значит расстояние он х+3)=2х+6 километров.

против течения катер шел 2,5 часа то есть это расстояние 2,5(х-3)=2,5х-7,5 и еще осталось 3 км, значит расстояние против течения общее 2,5х-7,5+3=2,5х-4,5

приравням все это так как расстояние одинаковое.

2х+6=2,5х-4,5

-0,5х=-10,5

0,5х=10,5

х=21км/ч - собственная скорость катера.

расстояние между пристанями равно 2х+6=2*21+6=42+6=48 километров.

Решить в целых числах уравнение 4*3^x -35 =y^2

x>=2, иначе левая часть уравнения отрицательна, а правая неотрицательна.

Рассмотрим два случая

1) х - четное число  х=2n, n Є  N

4*3^(2n)-35=y^2

4*3^(2n)- y^2 =35

(2*3^n)^2 - y^2 =35

(2*3^n+y)* (2*3^n - y)=35

Значит n=<2 , иначе один из множителей левой части больше 35

и уравнение не имеет решений, так как оба множителя - целые числа.

При n=1 получаем решения (2; -1) (2; 1).

При n=2 получаем решения (4; -17) (4; 17).

2) х- нечетное число  х=2n+1, n Є  N

4*3^(2n+1)-35=y^2

При делении на 5 левая часть дает в остатке 3, а правая  1 или  4

Поэтому в этом случае решений нет.

ответ  (2; -1), (2; 1), (4; -17), (4; 17)