Сторона боковой стенки стола имеет диаметр 45 градусов. основание стола составляет 6,4 см и 4,8 см. найдите его поверхность

Показать ответ

Ответ:

yulenkaradosti

23.04.2022 01:48

1) (xy-x²)y'-y²=0
Перед нами однородное уравнение. Проверяется просто. В исходное уравнение вместо х подставляем $\lambda x$ , вместо у подставляем $\lambda y$ , производную не трогаем.
$(xy-x^2)y'-y^2 = (\lambda x * \lambda y - (\lambda x)^2)*y' - (\lambda y)^2 = \\ \\ = \lambda ^2 ((xy-x^2)y'-y^2) = 0$
Как видим, лямбда сокращается, следовательно дифференциальное уравнение однородное.
Решается уравнение заменой: y(x) = t(x) * x, или сокращённо y = tx. Т.к. функция t(x) зависит от икс, то производная как от сложной функции:
y' = t' * x + t
Вот это и подставляем в исходное уравнение и решаем:
$(xy-x^2)y'-y^2 = 0 \\ \\ (x*t*x - x^2)*(t'*x+t) -t^2*x^2= 0 \\ \\ x^2(t-1)*(t'*x+t)=t^2*x^2 \\ \\ (t-1)*(t'*x+t)=t^2 \\ \\ t'tx+t^2-t'x-t=t^2 \\ \\ t'x(t-1) = t \\ \\ \frac{t-1}{t} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{t-1}{t} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{t-1}{t} } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(1 -\frac{1}{t}) } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ t - lnt = lnx + lnC \\ \\ \frac{y}{x} - ln \frac{y}{x} = lnCx$
Сделали обратную замену t = y/x, а решение лучше оставить в таком виде, как получилось

2. $y' = \frac{xy}{x^2-y^2}$
Однородность диффура проверяется аналогично предыдущему. Подстановка тоже аналогична.
$y' = \frac{xy}{x^2-y^2} \\ \\ t'x + t = \frac{tx^2}{x^2-t^2x^2} = \frac{t}{1-t^2} \\ \\ t'x + t -\frac{t}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x + \frac{t-t^3-t}{1-t^2} =t'x - \frac{t^3}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x = \frac{t^3}{1-t^2} \:\:\:\:\:\:\:\: \frac{1-t^2}{t^3} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{1-t^2}{t^3} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{1-t^2}{t^3}} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(t^{-3}- \frac{1}{t})} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx$
$\\ \\ - \frac{1}{2} t^{-2} -lnt = lnx+lnC \\ \\ - \frac{1}{2} \frac{x^2}{y^2} - ln \frac{y}{x} = lnCx$

3) xy'-2y=x+1
Линейное уравнение решается подстановкой y(x) = u(x)*v(x), или сокращённо y = u*v. Производная равна y' = u'*v + u*v'.
Делаем замену и решаем.
$xy'-2y=x+1 \\ \\ y' - \frac{2y}{x} = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*v' - \frac{2u*v}{x} =\frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*(v' - \frac{2v}{x}) =\frac{x+1}{x} \\ \\ \\ 1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \\ 2) \:\: u'*v = \frac{x+1}{x}$
Составляем систему уравнений (см. выше). Сначала решается первое.
$1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \:\: \: \:\: v' = \frac{2v}{x} \\ \\ \frac{v'}{v} =\frac{2}{x} \:\: \: \:\: \frac{dv}{v} = \frac{2dx}{x} \\ \\ \int\limits { \frac{1}{v} } \, dv = \int\limits { \frac{2}{x} } \, dx \\ \\ lnv = 2lnx \:\: \: \:\: v = x^2$
Полученное решение подставляем во второе уравнение и решаем его:
$u'*v = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*x^2 =\frac{x+1}{x} \\ \\ u' = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} \\ \\ du = (x^{-2}+ x^{-3})dx \\ \\ \int\limits {} \, du = \int\limits {(x^{-2}+ x^{-3})} \, dx \\ \\ u = - \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C$
Собираем решения:
$y = u*v = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C) * x^2 = -x -2 +Cx^2$

$4) \:\:\:\: y'cos^2x+y = tgx$
Решается аналогично предыдущему.
$y'cos^2x+y = tgx \\ \\ y' + \frac{y}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+uv'+\frac{uv}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+u(v'+\frac{v}{cos^2x}) = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ 1) \:\:\: v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \\ \\ 2) \:\:\: u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \:\:\:\:\:\: v' = - \frac{v}{cos^2x} \\ \\ \frac{dv}{v} = - \frac{dx}{cos^2x} \\ \\ lnv = -tgx \\ \\ v = e^{-tgx} \\ \\ \\ u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'e^{-tgx} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\$
$u' = e^{tgx} * \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u = \int\limits {e^{tgx}*\frac{tgx}{cos^2x}} \, dx \:\:\:\:\:\: [t=tgx; \:\:\:\:\:\: dt = \frac{dx}{cos^2x}] \\ \\ u = \int\limits {e^{t}* t} \, dt = e^t *t - \int\limits {e^t} \, dt = e^t*t - e^t = e^t*(t-1) +C = \\ \\ \\ f = t; \:\:\:\:\:\: df = dt; \:\:\:\:\:\: dg = e^t dt; \:\:\:\:\:\: g = e^t \\ \\ \\ = e^{tgx}(tgx-1) + C$
Собираем решения:
$y = uv = (e^{tgx}(tgx-1) + C) * e^{-tgx} = C*e^{-tgx} + tgx - 1$

22

0,0(0 оценок)

Ответ:

Тембулат14

05.07.2021 11:59

Дана функция: y = -x^4 + 2x^2 + 3

При построении графиков функций можно примерно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.

Ограничений нет: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, отсутствуют вертикальные асимптоты и точки разрыва функции.

Область значений определится после нахождения экстремумов.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(-x).

Так как переменная в чётных степенях, то функция чётная.

3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x^4+2x^2+3.

у =-0^4+2*0^2+3 = 3,

Результат: y=3. Точка: (0; 3).

Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение: -x^4+2x^2+3 = 0.

Делаем замену х^2 = t и получаем квадратное уравнение:

-t^2+2t+3 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;

t_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3.

Первый корень отбрасываем, так как квадрат х не может быть отрицательным числом.

Находим 2 точки пересечения графика с осью Ох: х = √3 и х = -√3.

5. Найти асимптоты графика - их нет, так как все пределы при х⇒∞ равны ∞.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

y' = 4x³ + 4x = -4x(x² - 1).

Приравниваем нулю: -4x(x² - 1) = 0.

Получаем 3 критические точки: х = 0, х = 1 и х = -1.

7. Найти промежутки монотонности функции.

Получили 4 промежутка: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞).

8. Определить экстремумы функции f(x).

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = 24 0 -1,5 0 1,5 0 -24.
Имеем: 2 максимума: (-1; 4) и (1; 4) и локальный минимум (0; 3).
4 промежутка монотонности:
- возрастание (-∞; -1) и (0; 1),
- убывание (-1; 0) и (1; +∞).
Теперь определилась область значений функции: (-∞; 3].

9. Вычислить вторую производную f''(x) = -12x^2+ 4.

Приравниваем нулю: -12x^2+ 4 = -12(x^2- (1/3)) = 0.

Имеем 2 точки перегиба: х = 1/√3 и -1/√3.

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

x = -1 -0,57735 0 0,57735 1
y'' = -8 0 4 0 -8.
График выпуклый на промежутках (-∞; (-1/√3)) и ((1/√3); +∞),
вогнутый на промежутке (-1/√3) (1/√3)).

11. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Дан в приложении.